Las matem¨¢ticas de los fen¨®menos que se repiten

Eva Miranda. Pen¨¦lope Cruz canta en Volver, la pel¨ªcula de Pedro Almod¨®var, el famoso tango de Gardel: ¡°Volver, con la frente marchita, las nieves del tiempo platearon mi sien. Sentir, que es un soplo la vida, que veinte a?os no es nada¡­¡±, record¨¢ndonos que regresar al punto de partida es siempre posible. Este acto de regresar, tan po¨¦tico y cinematogr¨¢fico, tambi¨¦n se puede estudiar matem¨¢ticamente desde diversos puntos de vista.

Los fen¨®menos peri¨®dicos, que tienen como patr¨®n fundamental ¡°volver al inicio¡±, se pueden asociar a una estructura algebraica llamada grupo, formada por un conjunto y una operaci¨®n definida sobre el mismo, que cumple ciertas propiedades. Un ejemplo sencillo ser¨ªa el reloj. Cada 12 horas la aguja vuelve al mismo sitio dibujando una circunferencia. La circunferencia, junto a la operaci¨®n de la traslaci¨®n de las agujas ser¨ªa un grupo.

M¨¢s informaci¨®n

Las matem¨¢ticas que describen la forma de la costa

Matem¨¢ticas para entender el cerebro

Por otro lado, la periodicidad tambi¨¦n es un comportamiento que reproducen algunas soluciones de ecuaciones diferenciales; al dibujar estas soluciones se obtienen circunferencias denominadas ¨®rbitas peri¨®dicas. Por ejemplo, en el sistema solar las trayectorias de los planetas son soluciones de ecuaciones diferenciales, que surgen al aplicar las leyes de conservaci¨®n de la energ¨ªa del sistema, descrita por una funci¨®n escalar llamada Hamiltoniano.

?Pero, ?es posible conocer la existencia y localizaci¨®n de las ¨®rbitas peri¨®dicas en sistemas de ecuaciones diferenciales? Esto es fundamental, por ejemplo, para saber si un sat¨¦lite volver¨¢ al punto de partida o caer¨¢ en medio de la nada. Sin embargo, debido a las perturbaciones del sistema, a veces no es f¨¢cil calcular las ¨®rbitas, y para hacerlo es necesario emplear todo tipo de t¨¦cnicas: m¨¦todos propios de ecuaciones diferenciales pero tambi¨¦n herramientas de geometr¨ªa y topolog¨ªa. En particular, se intentan relacionar las propiedades de las ¨®rbitas con la forma (o topolog¨ªa) del llamado espacio de fases (que es el conjunto de todas las posiciones y momentos del sistema).

Uno de los matem¨¢ticos que hizo grandes avances en este problema fue el franc¨¦s Henri Poincar¨¦, conocido tambi¨¦n por la conjetura que lleva su nombre y que fue demostrada por la ¨²nica persona que ha rechazado la medalla Fields en toda su historia, Grigori Perelman. Poincar¨¦ estudi¨® las ¨®rbitas peri¨®dicas en el problema de los tres cuerpos, que analiza el movimiento de tres objetos atra¨ªdos entre s¨ª (el Sol, la Tierra y la Luna, por ejemplo). En este caso las trayectorias, descritas por ecuaciones diferenciales, presentan la complejidad adicional de ser un sistema no integrable (es decir, que no disponemos de suficientes integrales primeras para localizar sus soluciones).

Poincar¨¦ trabaj¨® tambi¨¦n en la versi¨®n restringida del problema de tres cuerpos (donde se supone que uno de los cuerpos tiene masa pr¨¢cticamente cero y que los cuerpos se mueven en un plano), y demostr¨® que existe una infinidad de ¨®rbitas peri¨®dicas que se aglomeran cerca de lo que se conoce como l¨ªnea del infinito. Los m¨¦todos utilizados por Poincar¨¦ est¨¢n planteados para sistemas concretos de mec¨¢nica celeste, pero son muy efectivos en muchas otras situaciones y, en algunos casos, todav¨ªa no se ha encontrado otra herramienta que iguale o mejore sus resultados.

En los a?os 70, los matem¨¢ticos Paul Rabinowitz y Eduard Zehnder identificaron las ¨®rbitas peri¨®dicas con los puntos cr¨ªticos (donde la derivada se anula) de una funci¨®n llamada funcional de acci¨®n, empleando c¨¢lculo variacional. Un alumno de tesis de Zehnder, Andreas Floer, fue m¨¢s all¨¢ y relacion¨® todos los puntos cr¨ªticos del funcional de acci¨®n con un objeto algebraico (homolog¨ªa de Floer). En concreto, Floer consigui¨® probar que si una de las homolog¨ªas de Floer asociadas al sistema no es cero entonces existen ¨®rbitas peri¨®dicas. Esta teor¨ªa combina herramientas de topolog¨ªa, geometr¨ªa, an¨¢lisis y ¨¢lgebra para resolver un problema de sistemas din¨¢micos.

Sin embargo, esta es solo una de las armas en nuestro arsenal. En ocasiones las t¨¦cnicas de Floer no mejoran los resultados obtenidos por Poincar¨¦, pero ofrecen una mejor comprensi¨®n del problema abriendo nuevas puertas. Estos avances m¨¢s te¨®ricos, aplicados conjuntamente con t¨¦cnicas propias de c¨¢lculo num¨¦rico y sistemas din¨¢micos permiten abordar, entre otros, problemas de mec¨¢nica celeste y din¨¢mica espacial todav¨ªa no resueltos, como el dise?o de la trayectoria de un sat¨¦lite.

-Alicia: "?Cu¨¢nto tiempo es para siempre?"

-El conejo blanco: "A veces solo un segundo."

Lewis Carroll, Alicia en el pa¨ªs de las maravillas

Eva Miranda es catedr¨¢tica en Geometr¨ªa y Topolog¨ªa ICREA Academia en la Universidad Polit¨¦cnica de Catalunya/BGSMath, chercheur associ¨¦ en el Observatorio de Par¨ªs y doctora vinculada en el ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT)