?rboles

En el Hex, el empate es imposible. No pueden completar cadena ambos jugadores (aunque el segundo jugador pueda seguir jugando si la completa el primero) porque una cadena que une lados opuestos del tablero lo divide en dos partes totalmente separadas e impide, por tanto, que se conecten entre s¨ª los tramos de fichas rivales que intentan unir los otros dos lados. Pero otra posibilidad de empate ser¨ªa que ninguno de los dos jugadores pudiera completar su cadena; sin embargo, esto tampoco es posible: si ambos jugadores van colocando fichas hasta llenar el tablero, se completar¨¢ necesariamente una cadena, aun en el supuesto de que deliberadamente intenten evitarlo (en el comentario 47 de hace un par de semanas se puede ver una demostraci¨®n detallada).

La ventaja de la superelipse sobre la elipse, para trazar una rotonda en una plaza rectangular, es que llena mejor el espacio -se ci?e m¨¢s a los lados del rect¨¢ngulo- y facilita la circulaci¨®n de los veh¨ªculos (un circuito el¨ªptico tiene la desventaja de que parece circular pero no lo es, lo que podr¨ªa despistar a los conductores).

A medida que aumenta el exponente de la ecuaci¨®n de la superelipse, se aproxima m¨¢s al rect¨¢ngulo circunscrito, y en el l¨ªmite, cuando n tiende a infinito, coincide con ¨¦l.

La curiosa propiedad del ¡°superhuevo¡± de Piet Hein es que, al contrario que los elipsoides de revoluci¨®n o los huevos, permanece en equilibrio sobre cualquiera de sus extremos, lo cual lo populariz¨®, en peque?o formato, como objeto de regalo.

Grafos arb¨®reos

En las ¨²ltimas semanas hemos resuelto algunos problemas utilizando grafos, y m¨¢s concretamente ¡°¨¢rboles¡±, aunque sin nombrarlos. Un grafo es un conjunto de puntos, llamados v¨¦rtices o nodos, unidos por una serie de l¨ªneas, llamadas lados o aristas, que representan relaciones binarias entre los elementos de un conjunto. Si desde cualquiera de los puntos del grafo se puede ir a cualquier otro recorriendo aristas, es un grafo conexo. Y si en un grafo conexo no hay circuitos cerrados, se denomina ¡°¨¢rbol¡±, por su semejanza con los ¨¢rboles de la naturaleza. El ?rbol de la Ciencia de Ram¨®n Llull y el ?rbol de Porfirio son ilustres precursores de los grafos arb¨®reos.

Es evidente que con dos puntos podemos formar un ¨²nico ¨¢rbol, y lo mismo con tres. Con cuatro puntos podemos formar dos ¨¢rboles distintos: los cuatro puntos alineados o formando una Y. En la figura vemos un ¨¢rbol de siete nodos; ?cu¨¢ntos distintos podemos formar? ?Tendr¨¢n todos el mismo n¨²mero de aristas? (Una peque?a advertencia: es f¨¢cil confundirse y pensar que son distintos dos ¨¢rboles que en realidad son equivalentes).

?Qu¨¦ podemos decir de la secuencia num¨¦rica que expresa el n¨²mero de ¨¢rboles distintos que se pueden formar con 2, 3, 4, 5¡­ nodos? ?Qu¨¦ ejemplos de ¨¢rboles (adem¨¢s de los propios ¨¢rboles) hay en la naturaleza? ?Y en las obras humanas?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.