¡®Ceteris paribus¡¯

En un cuadrado cuyo lado tomamos como unidad, la longitud del ¨¢rbol formado por tres de los lados ser¨¢ 3, mientras que la del ¨¢rbol formado por las dos diagonales medir¨¢ 2¡Ì2 = 2,82¡­, un ahorro considerable. Pero la configuraci¨®n que vimos la semana pasada, con dos puntos de Steiner que forman ¨¢ngulos de 120? al unirlos entre s¨ª y con los v¨¦rtices del cuadrado, supone un ahorro a¨²n mayor, pues mide 1 + ¡Ì3 = 2,73¡­

En cuanto a los acertijos de Angela Foxx Dunn, el primero era muy sencillo, pero los otros dos no tanto:

El del puzle de 100 piezas se ve m¨¢s claro ¡°rebobinando¡±: imaginemos que tenemos el puzle ya compuesto y queremos descomponerlo en todas sus piezas: con cada fractura aumentar¨¢ en una el n¨²mero de piezas, tanto si separamos una pieza suelta como un grupo de ellas; por lo tanto, siempre necesitaremos 99 movimientos para descomponer el puzle en sus 100 piezas iniciales. Lo que significa, pasando la pel¨ªcula al rev¨¦s, que siempre necesitaremos 99 movimientos para montarlo.

El menor n¨²mero de calcetines que puede haber en el caj¨®n para que al sacar dos al azar ambos sean marrones, es 15 marrones y 6 negros. Al sacar el primer calcet¨ªn, la probabilidad de que sea marr¨®n es 15/21, y al sacar el segundo, la probabilidad de que tambi¨¦n sea marr¨®n es 14/20; y 15/21 x 14/20 = 1/2. Claro que, si nos conformamos con que ambos calcetines sean del mismo color, la probabilidad de ¨¦xito aumenta. ?En qu¨¦ medida?

En el problema del producto m¨¢ximo, la clave est¨¢ en que no puede haber factores mayores de 4, ya que cualquier n mayor que 4 se puede descomponer en los sumandos n-2 y 2, cuyo producto, 2n ¨C 4, es mayor que su suma, n, para n > 4. Por lo tanto, los factores solo pueden ser treses y cuatros, o, para simplificar, treses y doses (puesto que 4 =2 + 2 = 2 x 2). Por otra parte, siempre convendr¨¢ sustituir tres doses por dos treses, ya que, a igual suma (2 + 2 +2 = 3 + 3), 2 x 2 x 2 = 8 y 3 x 3 = 9, por lo que habr¨¢ que minimizar el n¨²mero de doses y reducirlos a dos, lo que nos deja 32 treses y 2 doses (32 x 3 + 2 x 2 = 100), con lo que el producto m¨¢ximo buscado ser¨¢ 3³² x 2², un n¨²mero de diecis¨¦is cifras.

Cuando todo lo dem¨¢s sigue igual

En las ¨²ltimas semanas, al estudiar los grafos arb¨®reos, hemos adoptado alguna vez la estrategia de ver qu¨¦ pasaba si quit¨¢bamos o a?ad¨ªamos una sola arista, dejando igual el resto del ¨¢rbol; sin decirlo expresamente, est¨¢bamos aplicando el m¨¦todo ceteris paribus, locuci¨®n latina que significa ¡°lo dem¨¢s (sigue) igual¡±.

Es un m¨¦todo ampliamente utilizado en las ciencias experimentales, y tambi¨¦n en econom¨ªa, y coloquialmente apelamos a ¨¦l t¨¢citamente cada vez que hacemos una afirmaci¨®n del tipo: ¡°Si ma?ana no llueve, iremos a la playa¡±, en la que se da por supuesto que las dem¨¢s condiciones (ganas, salud, movilidad¡­) seguir¨¢n cumpli¨¦ndose. Podemos preguntarnos, por ejemplo, si podr¨ªa volar un caballo como el m¨ªtico Pegaso si le a?adi¨¦ramos alas sin modificar el resto de su anatom¨ªa.

Animo a mis sagaces lectoras/es a buscar y comentar ejemplos de problemas que se pueden abordar con este m¨¦todo.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.