N¨²meros grandes y grandes n¨²meros

Dando por supuesto que en un par de milenios el ciclo del agua habr¨¢ removido globalmente y remezclado de forma homog¨¦nea los mil trillones y pico de litros que participan en ¨¦l, no es dif¨ªcil calcular, como nos plante¨¢bamos la semana pasada, cu¨¢ntas mol¨¦culas de las l¨¢grimas que derram¨® Mar¨ªa por su hijo muerto habr¨¢ en un vaso de agua. Incluso podemos hacerlo mentalmente:

Un cent¨ªmetro c¨²bico equivale a unas veinte gotas de agua (?y qu¨¦ otra cosa son las l¨¢grimas?), por lo que un millar de l¨¢grimas son unos cincuenta cent¨ªmetros c¨²bicos, o sea, unos tres moles de agua (recordemos que un mol de una sustancia es su peso molecular expresado en gramos; el peso at¨®mico del ox¨ªgeno es 16 y el del hidr¨®geno 1, por lo que el peso molecular del H2O es 16+2=18, y un mol de agua son 18 gramos). En un mol de cualquier sustancia hay 6,022 x 1023 mol¨¦culas, el famoso n¨²mero de Avogadro, por lo que, redondeando, en las mil l¨¢grimas de Mar¨ªa hab¨ªa unos dos cuatrillones de mol¨¦culas. Si el ciclo del agua las distribuye homog¨¦neamente entre unos mil trillones de litros, habr¨¢, unas dos mil mol¨¦culas por litro, o sea unas cuatrocientas en un vaso de agua normal. Un resultado sorprendente, que da idea del enorme n¨²mero de mol¨¦culas que hay en una peque?a cantidad de cualquier sustancia.

En cuanto al n¨²mero de libros escribibles, nadie se ha animado a calcularlo, as¨ª que lo dejo pendiente y le a?ado un m¨¢s dif¨ªcil todav¨ªa: calcular el n¨²mero de cuadros pintables.

Y como ¨²ltimamente hemos hablado de probabilidades y de n¨²meros grandes, es obligado referirse a la ley de los grandes n¨²meros. Ya en el siglo XVI, el matem¨¢tico italiano Gerolamo Cardano afirm¨®, sin demostrarlo de forma rigurosa, que la precisi¨®n de una estad¨ªstica aumenta con el n¨²mero de pruebas; pero hubo que esperar hasta principios del XVIII para que Jakob Bernoulli (no confundir con su sobrino Daniel, que formul¨® el conocido principio de hidrodin¨¢mica que lleva su nombre) demostrara matem¨¢ticamente y cuantificara la ¡°ley de los grandes n¨²meros¡± propuesta por Cardano. El matem¨¢tico suizo, que tard¨® m¨¢s de veinte a?os en desarrollar su demostraci¨®n, la llam¨® su ¡°teorema dorado¡±, aunque ya nadie denomina as¨ª al teorema de Bernoulli.

Esta l¨ªnea de investigaci¨®n matem¨¢tica fue desarrollada, entre otros, por Poisson, que fue quien populariz¨®, en el siglo XIX, la expresi¨®n ¡°ley de los grandes n¨²meros¡±, que ha acabado imponi¨¦ndose a pesar de no ser del agrado de algunos matem¨¢ticos, que se resisten a introducir t¨¦rminos imprecisos, como ¡°grande¡± o ¡°peque?o¡± en el lenguaje matem¨¢tico. Coloquialmente, se suele usar la expresi¨®n ¡°ley de los grandes n¨²meros¡± para indicar que un suceso improbable acabar¨¢ produci¨¦ndose casi con seguridad tras un n¨²mero de intentos o posibilidades lo suficientemente grande.

Y para terminar, un par de acertijos relacionados con el tama?o de los n¨²meros:

?Cu¨¢l es el mayor n¨²mero que puede formarse con tres doses? ?Y con cuatro doses? ?Y con n doses?

?Qu¨¦ es mayor, la ra¨ªz cuadrada de 2 o la ra¨ªz quinta de 5?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.