Los monstruosos n¨²meros irracionales

El mayor n¨²mero que podemos escribir con tres doses es 2²², un n¨²mero superior a cuatro millones. Tambi¨¦n nos pregunt¨¢bamos la semana pasada qu¨¦ es mayor, la ra¨ªz cuadrada de 2 o la ra¨ªz quinta de 5. Si elevamos ambos n¨²meros a la potencia 10, obtenemos 2⁵ = 32 y 5² = 25, lo que demuestra que ¡Ì2 es mayor. Conviene aclarar, como han se?alado algunos lectores, que solo se tienen en cuenta las soluciones positivas, pues la ra¨ªz cuadrada de 2 no solo es 1,4142¡­, sino tambi¨¦n ¨C1,4142¡­

La ra¨ªz cuadrada de 2 es la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1; aparece continuamente en las operaciones algebraicas y geom¨¦tricas, y adem¨¢s tiene una gran relevancia hist¨®rica, pues fue la ventana por la que los pitag¨®ricos, hace dos milenios y medio, se asomaron al inquietante mundo de los n¨²meros irracionales, cuyo descubrimiento provoc¨® una aut¨¦ntica conmoci¨®n.

Los n¨²meros irracionales se denominan as¨ª porque no pueden expresarse como raz¨®n de dos n¨²meros enteros, algo que los primeros matem¨¢ticos de la antigua Grecia no hab¨ªan contemplado y que algunos consideraron ¡°monstruoso¡±. Invito a mis sagaces lectoras/es a demostrar que ¡Ì2 no puede expresarse como fracci¨®n, es decir, como cociente de dos n¨²meros enteros.

Obviamente, un n¨²mero irracional tiene infinitos decimales, pues de lo contrario podr¨ªamos quitarle la coma y expresarlo como un n¨²mero entero partido por un 1 seguido de tantos ceros como decimales tuviera el n¨²mero en cuesti¨®n. Adem¨¢s, esos infinitos decimales no han de ser peri¨®dicos (es decir, no ha de haber un bloque que se repite indefinidamente). Por ejemplo, 0,333¡­ no es irracional, puesto que es igual a 1/3; y 0,237237237¡­ tampoco, pues es igual a 237/999.

Algebraicos y trascendentes

Hay dos clases de n¨²meros irracionales: algebraicos y trascendentes. Los primeros son soluci¨®n de alguna ecuaci¨®n algebraica y pueden expresarse mediante un n¨²mero finito de ra¨ªces; ¡Ì2 es un ejemplo sencillo de n¨²mero irracional algebraico, pues es la soluci¨®n de la ecuaci¨®n x² = 2 y se expresa con una ¨²nica ra¨ªz cuadrada. Tambi¨¦n el famoso n¨²mero ¨¢ureo, ¦µ, pues es una soluci¨®n de la ecuaci¨®n x² ¨C x ¨C 1 = 0.

Pero hay otros irracionales, como ¦Ð y e, que no son soluciones de ninguna ecuaci¨®n algebraica ni pueden expresarse mediante un n¨²mero finito de ra¨ªces; se denominan n¨²meros trascendentes porque en general proceden de funciones trascendentes, como las trigonom¨¦tricas y las logar¨ªtmicas. Aunque tambi¨¦n podemos construir un n¨²mero trascendente sin partir de funci¨®n alguna, creando una secuencia de decimales que no formen un patr¨®n repetitivo (per¨ªodo). Animo a mis sagaces lectoras/es a crear su propio n¨²mero trascendente.

Los n¨²meros irracionales no solo supusieron un terremoto conceptual para los pitag¨®ricos: en el siglo XIX, Georg Cantor demostr¨® que no son numerables, es decir, no pueden ponerse en correspondencia biun¨ªvoca con los n¨²meros naturales, lo que equivale a decir que la infinitud de los irracionales es de orden superior. Cantor llam¨® ¡°transfinitos¡± a los conjuntos ¡°m¨¢s infinitos¡± que el de los n¨²meros naturales y provoc¨® una aut¨¦ntica conmoci¨®n en el mundo matem¨¢tico. Pero ese es otro art¨ªculo (el pr¨®ximo, concretamente).

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica,Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.