?Qu¨¦ se esconde tras la letra del DNI?

El n¨²mero del DNI sirve para identificarnos de forma ¨²nica y se elige ordenadamente de entre un lote de n¨²meros que la Direcci¨®n General de la Polic¨ªa facilita de manera aleatoria a cada comisar¨ªa. Sin embargo, la letra se determina, a partir del n¨²mero asignado, de acuerdo con un algoritmo matem¨¢tico. Esto sirve tanto para detectar posibles errores como falsificaciones.

Este algoritmo se basa en la llamada aritm¨¦tica modular o del reloj, que se utiliza para describir procesos c¨ªclicos, como el paso del tiempo con las horas del d¨ªa, los d¨ªas o los meses. Despu¨¦s de las doce vuelve a ser la una, despu¨¦s del ¨²ltimo d¨ªa del mes vuelve a ser d¨ªa uno y al finalizar diciembre comienza enero. En esta aritm¨¦tica contamos de manera c¨ªclica, es decir, al llegar a un cierto n¨²mero ¡ªque llamamos el m¨®dulo¡ª volvemos a empezar.

Podemos imaginarlo como un reloj cuyas horas son n¨²meros enteros consecutivos, que recorremos c¨ªclicamente. Por supuesto, estos relojes no tienen por qu¨¦ tener 12 horas, sino que podemos crearlos con cualquier n¨²mero entero. Adem¨¢s, tienen otra particularidad: empezamos a contar desde cero, por lo que un reloj de, por ejemplo, ocho horas, tiene los n¨²meros del cero al siete.

La aritm¨¦tica modular fue estudiada por primera vez de forma sistem¨¢tica por Carl Friedrich Gauss en su famoso Disquisitiones Arithmeticae de 1801. Gauss defini¨® la congruencia de la siguiente manera: dos n¨²meros enteros a y b son congruentes m¨®dulo otro n¨²mero n si el resto de dividir (sin decimales) a y b entre n es el mismo. Esto es equivalente a que b - a sea m¨²ltiplo de n. Por ejemplo, 6 y 18 son congruentes m¨®dulo 12. Es decir, al dividir 6 entre 12, obtenemos como cociente 0 y como resto 6 y, por otro lado, al dividir 18 entre 12, nos queda cociente 1 y resto tambi¨¦n 6. En el reloj, esto significa que las 18 son las 6.

Al igual que en nuestra numeraci¨®n usual, en la aritm¨¦tica modular tambi¨¦n podemos operar: si tenemos dos pares de n¨²meros que son congruentes m¨®dulo n, tambi¨¦n lo ser¨¢n sus sumas; y lo mismo ocurre para la resta y multiplicaci¨®n.

Para el DNI se utiliza la congruencia m¨®dulo 23. El procedimiento consiste en calcular el resto de dividir el n¨²mero del DNI entre 23. En funci¨®n de este resto, se le asigna una letra de acuerdo con la tabla que se muestra en la imagen inferior.

As¨ª, si al introducir nuestro DNI cometemos alg¨²n peque?o error, el nuevo n¨²mero no se corresponder¨¢ con la letra introducida y saltar¨¢ un aviso en cualquier ordenador. Pero, ?por qu¨¦ se hace solo con 23 letras y no con todo el alfabeto? La O y la I se descartan por su gran parecido con el 0 y el 1. Por otra parte, la ? podr¨ªa dar problemas en el extranjero. Si consideramos las 24 letras restantes, el proceso no ser¨¢ suficientemente fiable. Esto se debe a la gran cantidad de divisores que tiene el n¨²mero 24.

En particular, si cambiamos una cifra, podr¨ªamos obtener dos n¨²meros que tengan asignada la misma letra. Supongamos que cambiamos un d¨ªgito de entre los cinco primeros sum¨¢ndole o rest¨¢ndole 3, por ejemplo, si escribimos 27526803 en vez de 27523803. Al hacer ese cambio, la diferencia con el n¨²mero original es un 3 seguido de al menos tres ceros (por ejemplo, en nuestro caso, 3000), que es siempre m¨²ltiplo de 24. Por tanto, ambos n¨²meros son congruentes m¨®dulo 24 y corresponden a la misma letra.

Sin embargo, considerando m¨®dulo 23, que es un n¨²mero primo, no podr¨ªan darse este tipo de errores. Al cambiar un solo d¨ªgito, la diferencia entre los dos n¨²meros es una ¨²nica cifra seguida de ceros, que nunca ser¨¢ m¨²ltiplo de 23. As¨ª que se elimina una letra cualquiera, la U, qued¨¢ndonos con 23 y un sistema mucho m¨¢s fiable.

La letra del DNI no es el ¨²nico d¨ªgito de control que se calcula con congruencias: tambi¨¦n el IBAN de las cuentas bancarias. Adem¨¢s, esta aritm¨¦tica es de gran importancia en criptograf¨ªa. Sin ir m¨¢s lejos, el cl¨¢sico cifrado C¨¦sar, que consiste en desplazar el alfabeto un n¨²mero fijo de posiciones, es una aplicaci¨®n directa de las congruencias. Por ejemplo, en C¨¦sar 5 se cambia cada letra por la que se encuentra cinco m¨¢s adelante, es decir, A se cambia por F, B por G, etc¨¦tera. Trabajamos m¨®dulo 27, as¨ª que las ¨²ltimas letras del alfabeto se cambiar¨¢n por las primeras. Por ejemplo, ¡®Congruencias¡¯ se escribir¨ªa ¡®Htrlwzjrhnfx¡¯. Otros m¨¦todos m¨¢s modernos y seguros, como RSA, tambi¨¦n se basan en congruencias. Este utiliza propiedades m¨¢s complejas de la aritm¨¦tica modular, como la existencia y caracter¨ªsticas de los elementos inversos.

Alba Garc¨ªa Ru¨ªz y Javier Pe?afiel son investigadores predoctorales en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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