Del pito-pito-gorgorito al c¨¢lculo del IBAN
La aritm¨¦tica modular nos sirve desde para ganar al pito-pito-gorgorito hasta para calcular el IBAN de nuestra cuenta
Estamos rodeados de d¨ªgitos de control, c¨®digos cuyo cometido es verificar que ciertos datos, num¨¦ricos o alfanum¨¦ricos, son correctos. Nuestro DNI, del que ya hablamos en El grafo adivinador de la letra del DNI, es un ejemplo de ello. Como ya coment¨¢bamos en aquel momento, la letra del DNI no se asigna de manera aleatoria, sino que se calcula a partir del n¨²mero de ocho cifras que corresponde a dicho DNI. Pod¨¦is echar un vistazo a ese enlace para ver c¨®mo se realiza ese c¨¢lculo y tambi¨¦n para ver c¨®mo hacerlo de una manera muy curiosa.
Esto, y muchas otras cosas, lo controla una rama de las matem¨¢ticas denominada aritm¨¦tica modular, rama introducida por Carl Friedrich gauss en 1801 (dentro de su gran obra Disquisitiones Arithmeticae) que ya ha aparecido en este blog en, por ejemplo, Las matem¨¢ticas de la fecha del Domingo de Resurrecci¨®n y La Regla del Fin de los D¨ªas. B¨¢sicamente, calcular a mod(n) (a m¨®dulo n) es calcular el resto que queda al dividir a entre n. Por ejemplo, 23 mod(7) es 2, 45 mod(13) es 6 y 27 mod(3) es 0.
Aunque muchos no lo saben, usamos aritm¨¦tica modular a diario. ?Que no? Pensad en c¨®mo calculamos horas o fechas. Si son las 7 de la tarde, 19 horas, y queremos saber qu¨¦ hora ser¨¢ dentro de 8 horas, lo que hacemos es sumar 19+8=27 y luego calcular el resto de dividir entre 24 (las horas que tiene el d¨ªa). Vamos, que calculamos 27 mod(24), que es 3.
Y con los meses igual. Si estamos en septiembre (mes n¨²mero 9), ?en qu¨¦ mes estaremos dentro de 71 meses? Pues sumamos 9+71, que es 80, y luego calculamos 80 mod(12), que nos da 8, por lo que estaremos en agosto.
Oye, ?y lo del pito-pito? Supongamos que queremos elegir a alguien de entre, digamos, cuatro personas (numeradas del 1 al 4), y usamos la t¨ªpica cancioncita infantil para ello. Hay muchas versiones de la misma, pero aqu¨ª os voy a poner la que cant¨¢bamos nosotros:
Pito, pito, gorgorito, ?d¨®nde vas tu tan bonito? A la era verdadera, pim, pom, fuera.
Si contamos lo golpes que tiene la frase, nos salen 15:
Pito / pito / gorgo / rito / d¨®nde / vas t¨² / tan bo / nito /
A la / era / verda / dera / pim / pom / fuera
Y como 15 mod(4) es 3, lo que sabemos es que la canci¨®n acabar¨¢ en la persona n¨²mero 3. As¨ª que podemos acabar eligiendo a quien queramos comenzando por la persona adecuada.
Los d¨ªgitos de control de una cuenta bancaria se calculan a partir del c¨®digo de entidad, el de oficina y los diez d¨ªgitos del n¨²mero de cuenta
Volvamos a los d¨ªgitos de control. Como dec¨ªamos, la letra del DNI es uno de ellos, pero hay m¨¢s. En los c¨®digos de barras hay d¨ªgitos de control, lo hay en los n¨²meros ISBN de los libros y tambi¨¦n los podemos encontrar en nuestras cuentas bancarias y en el m¨¢s o menos moderno IBAN.
Nuestras cuentas corrientes se componen de 20 n¨²meros divididos en cuatro grupos: el primer grupo, de 4 n¨²meros, corresponde con el c¨®digo de la entidad bancaria; el segundo, de otros 4 n¨²meros, corresponde al c¨®digo de la oficina donde tenemos la cuenta; el cuarto, de 10 n¨²meros, es el propio n¨²mero de cuenta; y el tercero, de 2 n¨²meros, son los d¨ªgitos de control.
El primero de estos d¨ªgitos de control encarga de controlar si hay alg¨²n error en los c¨®digos de entidad y oficina, y el segundo si lo hay en los 10 d¨ªgitos de la cuenta. Vamos a explicar c¨®mo calcularos y a la vez lo iremos haciendo con un ejemplo, el n¨²mero:
3741 8622 AB 0123498765
Para ambos d¨ªgitos de control necesitamos partir de n¨²meros de 10 cifras. Por ello, para el primero de ellos se toman los ocho d¨ªgitos de entidad y sucursal y se le a?aden dos ceros por la izquierda para obtener un n¨²mero de 10 cifras. En nuestro caso, 0037418622. Despu¨¦s, el c¨¢lculo de los d¨ªgitos de control se hace de la misma forma en ambos casos:
- Se toman los dos n¨²meros de 10 cifras obtenidos. En nuestro ejemplo, 0037418622 y 0123498765.
- En ambos, se multiplica cada una de sus cifras por, respectivamente, los n¨²meros 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3 y 6, que son los valores de 2n mod(11) para n de 0 a 10 (por ejemplo, 27=64, que m¨®dulo 11 es 9), y despu¨¦s se suman los resultados. Esto se hace para detectar trasposiciones. En nuestro caso quedar¨ªa lo siguiente:
0¡¤1+0¡¤2+3¡¤4+7¡¤8+4¡¤5+1¡¤10+8¡¤9+6¡¤7+2¡¤3+2¡¤6=230
0¡¤1+1¡¤2+2¡¤4+3¡¤8+4¡¤5+9¡¤10+8¡¤9+7¡¤7+6¡¤3+5¡¤6=313
- Se calcula el resultado de cada suma m¨®dulo 11 (es decir, el resto de dividir el resultado de la suma entre 11). En nuestro caso:
230 mod(11)=10
313 mod(11)=5
- El resultado obtenido se resta a 11. Si obtenemos un n¨²mero de una cifra, ese es el primer d¨ªgito de control; si obtenemos un 10, el d¨ªgito de control es 1; y si obtenemos 11, el d¨ªgito de control es 0. En nuestro caso:
11 ¨C 10 = 1
11 ¨C 5 = 6
Por tanto, los d¨ªgitos de control, AB, de nuestra cuenta son 16. Pod¨¦is probar con vuestro n¨²mero de cuenta y confirmar que los d¨ªgitos de control que aparecen en ella son correctos.
Los d¨ªgitos de control del IBAN involucran al CCC y sirven, como en el resto de casos, para ayudar a detectar errores
Hace unos a?os, concretamente a principios de 2014, entr¨® en nuestras vidas el IBAN (International Bank Account Number), sustituyendo a partir de ese momento al CCC (C¨®digo Cuenta Cliente) y cuyo objetivo es identificar una cuenta a nivel internacional para as¨ª facilitar los pagos entre distintos pa¨ªses. En Espa?a, el IBAN consiste en a?adir cuatro caracteres delante del n¨²mero de nuestra cuenta corriente: dos letras (el c¨®digo del pa¨ªs, ES en nuestro caso) y dos n¨²meros, que son de nuevo unos d¨ªgitos de control.
?C¨®mo calcular esos nuevos d¨ªgitos de control? Pues, otra vez, el c¨¢lculo de los mismos tiene que ver con la aritm¨¦tica modular e involucra al CCC (vamos, a nuestro n¨²mero de cuenta completo, el de 20 d¨ªgitos). Veamos c¨®mo se calcula y hag¨¢moslo con la cuenta que hemos usado antes, que ahora es 3741 8622 16 0123498765:
- Escribimos ES00, sustituimos las letras por su valor seg¨²n el abecedario (siendo A=10 y Z=35) y colocamos el resultado a la derecha del CCC, obteniendo un n¨²mero de 26 d¨ªgitos. En nuestro caso quedar¨ªa 37418622160123498765142800.
- Tomamos ese n¨²mero y calculamos su m¨®dulo 97 (esto es, el resto de dividir el n¨²mero entre 97). En nuestro caso:
37418622160123498765142800 mod(97) = 36.
- Restamos el resultado obtenido a 98. Si obtenemos un n¨²mero de dos cifras, esas son las que van despu¨¦s de ES. Si obtenemos un n¨²mero de una cifra, a?adimos un cero a la izquierda (por ejemplo, si obtenemos un 7, quedar¨ªa ES07). En nuestro caso:
98 ¨C 36 = 62
En consecuencia, el IBAN asociado a nuestro CCC es ES62 3741 8622 16 0123498765.
Estas son algunas aplicaciones de la aritm¨¦tica modular a cuestiones relacionadas con nuestra vida diaria, ejemplos de c¨®mo la aritm¨¦tica modular puede ayudarnos a encontrar errores en c¨®digos muy importantes en el d¨ªa a d¨ªa. Normalmente, las aplicaciones inform¨¢ticas en las que introducimos estos n¨²meros (DNI, CCC, IBAN¡) implementan un programa que calcula los d¨ªgitos de control y los compara con los que nosotros hemos introducido.
Hecho esto, si el c¨¢lculo del programa no coincide con los que hemos metido nosotros, entonces hemos introducido mal alg¨²n d¨ªgito y nos avisa de que hay un error. Por desgracia, si hay coincidencia entre lo que calcula el programa y los que aportamos nosotros no podemos asegurar que todo est¨¦ correcto, ya que hay muchos n¨²meros a los que les corresponden los mismos d¨ªgitos de control. De todas formas, sigue siendo una manera muy interesante e ingeniosa de aplicar las matem¨¢ticas a cuestiones de nuestro d¨ªa a d¨ªa.
Por otra parte, la aritm¨¦tica modular es mucho m¨¢s amplia que lo que muestran estas aplicaciones que hemos comentado. Hay toda una teor¨ªa alrededor de ella, tienen multitud de propiedades interesantes y se aplican a muchos otros aspectos dentro de las matem¨¢ticas. En pr¨®ximas entregas hablaremos de algunas de ellas.
Para finalizar, me gustar¨ªa que, si os apetece, nos coment¨¦is m¨¢s aplicaciones de esta aritm¨¦tica modular, ya sean del estilo a las presentadas hoy o relacionadas con otros campos, para as¨ª poder ampliar y enriquecer la informaci¨®n que aporta este art¨ªculo.
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