La teor¨ªa de los seis grados de separaci¨®n: las matem¨¢ticas que explican las redes sociales

Hist¨®ricamente, el ¨¦xito de la ciencia se ha basado en la idea de descomponer los sistemas en sus unidades fundamentales. Sin embargo, para entender las estructuras complejas es necesario adaptar otra perspectiva, que permita entender la interconexi¨®n de los elementos que las integran. Este es el punto de partida del libro de divulgaci¨®n A merced de las redes (Universo de Letras, 2023), de Ernesto Estrada, profesor de investigaci¨®n del Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas (CSIC) en el Instituto de F¨ªsica Interdisciplinar y Sistemas Complejos.

El objeto matem¨¢tico que describe ¡ªde forma simplificada¡ª las relaciones entre elementos es la red, o grafo: un conjunto de puntos ¡ªdenominados v¨¦rtices¡ª y uniones ¡ªque se llaman aristas¡ª entre ellos. Sirven para capturar la informaci¨®n clave de numerosas situaciones del mundo real. Estrada presenta en su libro numerosos ejemplos: relaciones sociales, epidemias, estructuras anat¨®micas, redes de genes, metab¨®licas o neuronales, conflictos sociales, redes de transportes. El que ofrece mayor an¨¢lisis matem¨¢tico es el primero de ellos, las redes sociales. En este caso, los puntos son personas y los v¨¦rtices pueden ser conocimiento mutuo, amistad o colaboraci¨®n.

Estrada habla de diferentes modelos matem¨¢ticos que simulan la formaci¨®n de las redes sociales y que permiten estudiar, de forma simplificada, las estructuras de una red real. El primero, desarrollado por los matem¨¢ticos Paul Erd?s y Alfred R¨¦nyi, parte de un n¨²mero n de individuos que no se conocen previamente ¡ªpor tanto, al inicio tiene n v¨¦rtices y ninguna arista¡ª y de un n¨²mero k que indica c¨®mo de propicio es el ambiente para que se establezcan relaciones. En cada simulaci¨®n se otorga un valor aleatorio a cada par de nodos; si este es mayor que k, se crea un v¨¦rtice entre esos dos v¨¦rtices, si es menor, no.

Para valorar si el resultado obtenido se parece a lo que se observa en las redes sociales de la realidad, se puede comprobar si se mantienen las caracter¨ªsticas principales de las redes del mundo real. Estas caracter¨ªsticas permiten entender la din¨¢mica de la red, es decir, como se transmite la informaci¨®n dentro de ella. Una de ellas es la densidad de la red, que se corresponde con la cantidad de conexiones existentes entre los elementos. Es el porcentaje del n¨²mero de conexiones existentes, sobre todas las que podr¨ªa haber en la red. Si todos los elementos est¨¢n relacionados con el resto, la red es completa.

Otra propiedad importante es la conectividad de un grafo: ser¨¢ conexo si siempre es posible llegar de un nodo a cualquier otro, a trav¨¦s de las aristas del grafo. Tal y como explica Estrada en el libro, casi todas las redes sociales del mundo son pr¨¢cticamente conexas. Por ejemplo, el 92,2% de los autores de ciencias biom¨¦dicas est¨¢n relacionados ¡ªen este caso, significa que tienen una publicaci¨®n conjunta en la base de datos de art¨ªculos Medline¡ª entre s¨ª, mientras que en matem¨¢ticas son el 82% (usando la base Mathematical Reviews). Esto significa que se puede transmitir la informaci¨®n entre pr¨¢cticamente todos los miembros de la red. Adem¨¢s, son muy poco densas: ninguna de las redes anteriores supera una densidad de 0,02%; es decir, no hace falta que est¨¦n comunicados todos con todos. Tambi¨¦n el modelo de Erd?s y R¨¦nyi crea redes conexas y con poca densidad: dependiendo de lo propicio que sea el ambiente a la socializaci¨®n, pero, incluso para valores relativamente bajos este par¨¢metro, las redes que aparecen son de ese tipo.

En una red conexa, se puede calcular la distancia del camino m¨¢s corto que une cada par de elementos: por ejemplo, si Ana y Carlos no colaboran, pero Ana colabora con Beatriz, que lo hace con Carlos, la distancia entre Ana y Carlos es de 2. La media de estos valores ¡ªque se llama longitud media de los caminos simples, L¡ª se relaciona con cu¨¢ntos pasos hay que dar, por lo general, para llegar de un punto a otro en la red. En la gran mayor¨ªa de las redes sociales del mundo real, este n¨²mero es sorprendentemente peque?o ¡ªpor ejemplo, 4,6 en la red de colaboraci¨®n en ciencias biom¨¦dicas¡ª. Es lo que se conoce como el efecto del mundo peque?o o la teor¨ªa de los seis grados de separaci¨®n. En el modelo de Erd?s y R¨¦nyi, L tiene un valor cercano al logaritmo del n¨²mero de nodos de partida. Por ejemplo, partiendo de cinco mil nodos, el L promedio (para diferentes ambientes) es de 8,5 pasos y, con cinco millones de nodos, 15,4, es decir, se parece a lo que se observa en la realidad.

Sin embargo, hay otras caracter¨ªsticas de las redes sociales del mundo real que no se reflejan en el modelo de Erd?s y R¨¦nyi. Por ejemplo, la llamada transitividad de la red, que indica c¨®mo de probable es que en una red, si A es amigo de B, que es amigo de C, entonces A y C tambi¨¦n sean amigos. Frente a ello, se han propuesto otros modelos, como el de Steven Strogatz y Duncan Watts o el de Albert-Lazslo Barab¨¢si y Re?ka Albert, que capturan mejor algunos aspectos de las redes sociales del mundo real. Todos ellos permiten acercarse a la complejidad de estos fen¨®menos con modelos matem¨¢ticos, mucho m¨¢s sencillos de estudiar.

?gata Tim¨®n es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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