Grandes problemas matem¨¢ticos resueltos por aficionados que hicieron historia

En general, hay muchas demostraciones incorrectas de problemas propuestas por matem¨¢ticos aficionados; por ejemplo, cada dos d¨ªas alguien afirma tener una nueva prueba de la famosa hip¨®tesis de Riemann. Esto hace que la mayor¨ªa de los matem¨¢ticos profesionales ni siquiera se molesten en revisar ninguna de presuntas soluciones, para no perder tiempo. Sin embargo, existen excepciones a esta regla. Dos ejemplos de ello son Marjorie Rice, una ama de casa de California (EE UU), y Aubrey de Grey, un bi¨®logo ingl¨¦s, quienes resolvieron problemas matem¨¢ticos importantes y dif¨ªciles.

En 1975, Rice propuso cuatro nuevos tipos de pent¨¢gonos convexos que cubren el plano, lo que se relaciona con uno de los problemas m¨¢s antiguos en la geometr¨ªa. Los pol¨ªgonos convexos son aquellos en los que, si tomas dos puntos de la figura, la l¨ªnea que los une tambi¨¦n est¨¢ dentro de ella. La primera pregunta es: ?qu¨¦ pol¨ªgonos convexos permiten cubrir todo el plano sin superposiciones ni espacios vac¨ªos? Para formar el mosaico es posible trasladar, rotar y reflejar el pol¨ªgono de partida, pero nada m¨¢s; ni modificar su tama?o, ni deformarlos.

Los griegos antiguos demostraron que los ¨²nicos pol¨ªgonos regulares ¡ªde lados y ¨¢ngulos interiores iguales¡ª que cubren el plano (sin dejar huecos) son el tri¨¢ngulo equil¨¢tero, el cuadrado y el hex¨¢gono regular. Pero si se emplean pol¨ªgonos convexos m¨¢s generales, la cuesti¨®n se vuelve mucho m¨¢s dif¨ªcil. Se sab¨ªa, desde hace mucho tiempo, que cualquier tri¨¢ngulo y cuadril¨¢tero convexo funcionaban. Tambi¨¦n estaba demostrado que existen solo tres familias de hex¨¢gonos convexos que permiten cubrir el plano, y que ning¨²n otro pol¨ªgono convexo de m¨¢s de seis lados puede hacerlo.

Sin embargo, el caso m¨¢s dif¨ªcil aparece al considerar pent¨¢gonos convexos. Hace m¨¢s de 100 a?os se encontraron las primeras cinco familias de pent¨¢gonos que cubr¨ªan el plano. En 1968, un matem¨¢tico encontr¨® tres m¨¢s y afirm¨®, incorrectamente, haber demostrado que estos ocho eran los ¨²nicos pent¨¢gonos convexos que cubren el plano.

Marjorie Rice se top¨® con un art¨ªculo que mencionaba este resultado en la revista Scientific American. A pesar de tener solo un graduado de educaci¨®n secundaria, aunque un gran inter¨¦s en el arte, Rice encontr¨® al poco tiempo los cuatro nuevos tipos de pent¨¢gonos convexos que cubren el plano. En homenaje a Rice ¡ªque falleci¨® en 2017 a los 94 a?os¡ª uno de esos tipos se muestra con baldosas pentagonales que cubren el suelo en el vest¨ªbulo de la sede de la Asociaci¨®n Matem¨¢tica de Am¨¦rica (en Washington, EE UU). Con el tiempo, se encontraron m¨¢s cubrimientos, lo que elev¨® el n¨²mero total de familias de pent¨¢gonos convexos a 15. Finalmente, en 2017, el matem¨¢tico Micha?l Rao, mediante una prueba asistida por computadora, demostr¨® que estas 15 familias conocidas de pent¨¢gonos convexos son las ¨²nicas que pueden cubrir el plano.

La otra historia de un aficionado que realiz¨® una contribuci¨®n matem¨¢tica la protagoniza el medi¨¢tico bi¨®logo Aubrey de Grey, realiz¨® un avance importante en el problema de coloraci¨®n del plano, una famosa pregunta de la teor¨ªa de grafos, con conexiones a otros problemas en esta ¨¢rea. Tambi¨¦n conocido como el problema de Hadwiger-Nelson, se trata de encontrar el n¨²mero m¨ªnimo de colores necesarios para colorear un plano, de modo que cualquier par de puntos que est¨¦n a una distancia de uno entre ellos tengan colores diferentes. Este valor se llama n¨²mero crom¨¢tico del plano.

Los matem¨¢ticos Hugo Hadwiger y Edward Nelson trabajaron y dieron a conocer el problema en las d¨¦cadas de 1940 y 1950. Al poco tiempo, se encontraron l¨ªmites superiores e inferiores para el n¨²mero crom¨¢tico del plano.

Se sabe que un l¨ªmite superior es siete, ya que es posible colorear el plano con solo siete colores, de modo que ning¨²n par de puntos a una distancia uno tenga el mismo color. Para ello, se cubre el plano con un hex¨¢gono regular cuyo di¨¢metro es ligeramente menor que uno. Como cada hex¨¢gono colinda con otros seis hex¨¢gonos, se usan siete colores: uno para hex¨¢gono central y seis para sus vecinos. Siguiendo esta estrategia, se colorean todos los hex¨¢gonos, y queda coloreado el plano tal y como se quer¨ªa.

En cuanto al l¨ªmite inferior, uno obvio es tres. Ya solo para colorear los v¨¦rtices de un tri¨¢ngulo equil¨¢tero con lados de longitud uno se necesitan tres colores diferentes. Un grafo ligeramente m¨¢s complicado ¡ªel llamado el huso de Moser, con siete v¨¦rtices¡ª, descubierto en 1961, muestra que se necesitan al menos cuatro colores. Todo esto establece que el n¨²mero crom¨¢tico del plano es cuatro, cinco, seis o siete. Y as¨ª qued¨® la situaci¨®n durante casi 60 a?os, hasta el trabajo de Aubrey de Grey en 2018.

De Grey, un cient¨ªfico conocido por su opini¨®n de que la tecnolog¨ªa m¨¦dica puede permitir a los seres humanos actuales no morir por causas relacionadas con la edad, se hizo amigo de matem¨¢ticos gracias a su pasi¨®n com¨²n por los juegos de mesa. Ellos lo introdujeron en la teor¨ªa de grafos y en el problema de Hadwiger-Nelson y, durante a?os, De Grey trabajaba de vez en cuando sobre estos temas. En 2018, public¨® un art¨ªculo en el que demuestra que el n¨²mero crom¨¢tico del plano es al menos cinco. Para hacerlo, fusion¨® varias copias del huso de Moser y construy¨® un monstruoso grafo con 20.425 v¨¦rtices, que es imposible de colorear con cuatro colores. Despu¨¦s, el tama?o de estos grafos incoloreables con cuatro colores se ha reducido a 509 v¨¦rtices.

El problema general sigue sin estar resuelto, pero, a trav¨¦s del trabajo de este bi¨®logo se sabe que el n¨²mero crom¨¢tico del plano es cinco, seis o siete. De Grey puede que no logre la inmortalidad biol¨®gica, pero sin duda ha logrado la inmortalidad matem¨¢tica.

Siddhant Govardhan Agrawal es investigador postdoctoral en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n, traducci¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria. Es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT)

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