El arte de la estad¨ªstica

Podemos dividir nuestro tri¨¢ngulo obtus¨¢ngulo de las ¨²ltimas semanas en un m¨ªnimo de 7 tri¨¢ngulos acut¨¢ngulos, tomando un punto interior de aquel como v¨¦rtice com¨²n de 5 de estos, que forman un pent¨¢gono (?puedes dibujarlo?). Como el pent¨¢gono es el menor pol¨ªgono cuyos ¨¢ngulos centrales pueden ser todos agudos, la divisi¨®n no es posible en menos de 7 acut¨¢ngulos.

En cuanto a la formaci¨®n de ...

Podemos dividir nuestro tri¨¢ngulo obtus¨¢ngulo de las ¨²ltimas semanas en un m¨ªnimo de 7 tri¨¢ngulos acut¨¢ngulos, tomando un punto interior de aquel como v¨¦rtice com¨²n de 5 de estos, que forman un pent¨¢gono (?puedes dibujarlo?). Como el pent¨¢gono es el menor pol¨ªgono cuyos ¨¢ngulos centrales pueden ser todos agudos, la divisi¨®n no es posible en menos de 7 acut¨¢ngulos.

En cuanto a la formaci¨®n de 4 tri¨¢ngulos equil¨¢teros con 6 cerillas, en este tipo de problemas se suele pedir que se usen las cerillas en toda su longitud; pero como en este caso no se ha pedido (y precisamente venimos hablando de no imponernos m¨¢s condiciones de las especificadas en el enunciado), a la cl¨¢sica soluci¨®n tetra¨¦drica podemos a?adir la de la figura, en la que los lados de los tri¨¢ngulos no son cerillas enteras sino medias cerillas. Y puesto que tampoco se pide que los tri¨¢ngulos sean 4 y solo 4, tambi¨¦n es aceptable la soluci¨®n propuesta por Bretos Burs¨®: ¡°Si formamos dos tri¨¢ngulos equil¨¢teros y los superponemos invertidos, formando una estrella de David, conseguimos una figura con 6 tri¨¢ngulos equil¨¢teros¡±.

Y por lo que respecta al pent¨¢coron, el an¨¢logo cuatridimensional del tetraedro, tiene 5 v¨¦rtices, 10 aristas, 10 caras triangulares y 5 celdas tetra¨¦dricas.

El hipercubo, teseracto u oct¨¢coron, aunque es m¨¢s complejo que el pent¨¢coron, es m¨¢s conocido y f¨¢cil de visualizar (es un decir), en buena medida por el Corpus Hypercubus de Dal¨ª, y cualquiera que haya visto el cuadro sabe que tiene 8 celdas c¨²bicas (adem¨¢s de 16 v¨¦rtices, 32 aristas y 24 caras cuadradas). En la figura vemos una t¨ªpica representaci¨®n bidimensional en perspectiva de una proyecci¨®n tridimensional de un hipercubo, en la que es relativamente f¨¢cil contar los v¨¦rtices, las aristas y las caras. Las 8 celdas c¨²bicas est¨¢n representadas por el cubo grande, el cubo peque?o y las 6 pir¨¢mides truncadas cuyas bases mayores son las caras del primero y cuyas bases menores son las caras del segundo.

Jugando al p¨®ker con el arzobispo de Canterbury

El t¨ªtulo de este art¨ªculo es el de un sorprendente libro reci¨¦n publicado: El arte de la estad¨ªstica, de David Spiegelhalter (Capit¨¢n Swing, 2023). Sorprendente desde el t¨ªtulo mismo, puesto que la estad¨ªstica es una rama de las matem¨¢ticas, una ciencia formal¡­ ?Puede considerarse tambi¨¦n un arte?

El famoso economista John Maynard Keynes era muy dado a los experimentos mentales, y el m¨¢s conocido de los suyos es, probablemente, el del concurso de belleza (una revista convoca un concurso de belleza en el que los lectores han de elegir, de entre las mujeres cuya fotograf¨ªa aparece en sus p¨¢ginas, a las seis m¨¢s bellas; pero las premiadas no ser¨¢n las mujeres m¨¢s votadas, sino los lectores que m¨¢s predicciones hayan acertado tras efectuar el recuento de votos).

No tan conocido, pero no menos interesante, es el de la partida de p¨®ker episcopal: imagina que est¨¢s jugando con el arzobispo de Canterbury y que en la primera ronda gana con una escalera real. ?Pensar¨ªas que ha hecho trampa? La probabilidad de sacar una escalera real es baj¨ªsima (?puedes calcularla?); pero, por otra parte, es inveros¨ªmil que monse?or arriesgue su prestigio sac¨¢ndose cartas de la sotana.

Este tipo de reflexiones, en las que intervienen elementos subjetivos y conocimientos previos a la hora de estimar cu¨¢n probable es un suceso, llevaron al matem¨¢tico y ministro presbiteriano Thomas Bayes, en el siglo XVIII, a replantear el c¨¢lculo de probabilidades de una forma tan novedosa como fecunda. El libro de Spiegelhalter es, entre otras cosas, una estimulante introducci¨®n a la estad¨ªstica bayesiana. De la que habr¨¢ que seguir hablando en otras entregas, pues solo queda espacio/tiempo para el problema de rigor en relaci¨®n con el asunto abordado:

Suponiendo que el 1 % de las mujeres tengan c¨¢ncer de mama y que las mamograf¨ªas destinadas a detectarlo acierten en un 90 % de los casos (en el sentido de que el 90 % de las mujeres con c¨¢ncer y el 90 % de las mujeres sin c¨¢ncer sean diagnosticadas correctamente), ?cu¨¢l es la probabilidad de que una mujer cuya mamograf¨ªa d¨¦ positiva tenga realmente c¨¢ncer?

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