Un paseo por la cuarta dimensi¨®n

La ¡°moraleja¡± del famoso problema de los nueve puntos, del que nos ocup¨¢bamos (y no por primera ni ¨²ltima vez) la semana pasada, es que a veces, sin darnos cuenta, nos imponemos m¨¢s condiciones de las que se establecen en el planteamiento. En el caso que nos ocupa, al ver nueve puntos dispuestos en una cuadr¨ªcula, tendemos a dar por supuesto que una l¨ªnea quebrada que los una tambi¨¦n estar¨¢ encerrada en la cuadr¨ªcula, o, dicho de otro modo, que todos sus v¨¦rtices coincidir¨¢n con algunos de los nueve puntos.

En el problema de la divisi¨®n de un tri¨¢ngulo obtus¨¢ngulo en acut¨¢ngulos, aunque aparentemente no tenga nada que ver con el anterior, es frecuente autoimponerse una restricci¨®n an¨¢loga: en este caso, que todos los v¨¦rtices de los acut¨¢ngulos sean puntos del per¨ªmetro del obtus¨¢ngulo, y con esta condici¨®n autoimpuesta la divisi¨®n no es posible; pero sin esta restricci¨®n innecesaria se puede dividir un tri¨¢ngulo obtus¨¢ngulo en¡­ ?cu¨¢ntos acut¨¢ngulos como m¨ªnimo?

Con respecto al cl¨¢sico de los cuatro ¨¢rboles equidistantes, esto es lo que dice nuestro ¡°usuario destacado¡± Salva Fuster: ¡°En el problema de los cuatro ¨¢rboles en los que cada uno de ellos dista lo mismo de los otros tres, me parece que tenemos diferentes alternativas seg¨²n el terreno, la forma de los ¨¢rboles y la definici¨®n de distancia entre ellos. Por ejemplo, si el terreno es plano y tomamos la distancia entre dos ¨¢rboles como la que hay entre sus centros de masa, podr¨ªamos tener un ¨¢rbol de poca (mucha) altura rodeado de otros tres m¨¢s altos (bajos) de manera que los centros de masa de los cuatro ¨¢rboles formen un tetraedro. Si la distancia entre dos ¨¢rboles se considera la de la m¨ªnima distancia entre cualquier punto de ellos, podemos tener cuatro ¨¢rboles a la misma distancia a diferentes alturas, o incluso sencillamente estando en contacto entre todos ellos¡±.

La soluci¨®n cl¨¢sica es que hay un mont¨ªculo en el terreno: uno de los ¨¢rboles se planta en lo alto del mismo y los otros tres a su alrededor y a menor altura, de forma que los cuatro est¨¦n en los v¨¦rtices de un tetraedro regular.

Y para formar cuatro tri¨¢ngulos equil¨¢teros con seis cerillas tambi¨¦n hemos de saltar del plano al espacio y recurrir al tetraedro; de ah¨ª su analog¨ªa con el problema de los ¨¢rboles, con el que aparentemente no tiene nada que ver.

Aunque, si se permite que las cerillas se crucen, s¨ª que hay una soluci¨®n plana. ?Cu¨¢l es?

Hipers¨®lidos plat¨®nicos

?Y si tuvi¨¦ramos que plantar cinco ¨¢rboles equidistantes en vez de cuatro? En ese caso tendr¨ªamos que trasladarnos a la cuarta dimensi¨®n y situar los ¨¢rboles (o los hiper¨¢rboles) en los v¨¦rtices de un pent¨¢coron, el m¨¢s sencillo de los politopos regulares tetradimensionales (denominados pol¨ªcoros).

Como seres tridimensionales que somos (sin contar la dimensi¨®n temporal ni posibles dimensiones extra vestigiales, como las propuestas por la teor¨ªa de cuerdas), no podemos concebir cuerpos tetradimensionales, pero s¨ª que podemos deducir sus caracter¨ªsticas. Vamos a ver si es verdad:

?Cu¨¢ntas aristas tiene el pent¨¢coron? ?C¨®mo son sus caras y cu¨¢ntas son?

M¨¢s dif¨ªcil todav¨ªa:

Un politopo no solo tiene v¨¦rtices (adimensionales), aristas (unidimensionales) y caras (bidimensionales); tambi¨¦n tiene ¡°celdas¡± tridimensionales, como los ocho cubos que envuelven (es un decir) el hipercubo (tambi¨¦n denominado oct¨¢coron o teseracto), cuyo desarrollo hizo famoso Dal¨ª con uno de sus cuadros (Corpus Hypercubus, 1954).

?Cu¨¢ntas celdas tiene un pent¨¢coron y c¨®mo son?

Adem¨¢s del pent¨¢coron y el hipercubo, hay otros cuatro politopos regulares de cuatro dimensiones, casi tan dif¨ªciles de nombrar como de concebir: hexadec¨¢coron, icositetr¨¢coron, hecatonicos¨¢coron y hexacos¨ªcoron. Los cinco primeros pueden considerarse los an¨¢logos tetradimensionales de los s¨®lidos plat¨®nicos, mientras que el hexacos¨ªcoron, con sus 1.200 caras triangulares y sus 600 celdas tetra¨¦dricas, no tiene un equivalente tridimensional. No intentes dibujarlo.

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