Coincidencias y probabilidades

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada si el hecho de que entre los nueve primeros decimales del n¨²mero e = 2,718281828¡­ aparezca repetido el grupo 1828 tiene alguna explicaci¨®n, y la respuesta es no: al igual que ¦Ð, e es un n¨²mero trascendente, es decir, un irracional que no es soluci¨®n de ninguna ecuaci¨®n algebraica, y cuyos infinitos decimales no siguen pauta alguna.

Sin embargo, s¨ª que hay una explicaci¨®n para el hecho de que la ra¨ªz cuadrada de 0,999 sea 0,9994 y la de 0,9999999 sea 0,99999994. No voy a dar la demostraci¨®n completa, pero s¨ª una buena pista: 0,999 = 1 ¨C 0,001, y 0,9999999 = 1 ¨C 0,0000001.

En la misma l¨ªnea (aunque no lo parezca), otra ¡°coincidencia¡± que tal vez no lo sea: cuatro es un cuadrado perfecto, y el siguiente cuadrado perfecto es nueve; si ponemos ambos d¨ªgitos uno a continuaci¨®n de otro obtenemos 49, que tambi¨¦n es un cuadrado perfecto. ?Coincidencia?

El mayor n¨²mero que no puede expresarse de la forma 23x + 28y, siendo x e y enteros y positivos, es 593. Dejo la demostraci¨®n a mis sagaces lectoras/es, as¨ª como la generalizaci¨®n si en vez de partir de la pareja 23 y 28 partimos de dos enteros positivos cualesquiera, a y b. Porque, dicho sea de paso, los n¨²meros escogidos por Fliess no tienen nada de especial: cualquier pareja servir¨ªa para obtener los ¡°sorprendentes¡± resultados que obten¨ªa ¨¦l con su f¨®rmula. Que alguien de la talla intelectual de Freud cayera en esa burda trampa numerol¨®gica da la medida de lo difundido que est¨¢ el anaritmetismo incluso entre personas inteligentes e instruidas.

Es probable que ocurra algo improbable

Para tener la sensaci¨®n de que se ha producido una curiosa (o extra?a, asombrosa, incre¨ªble¡­) coincidencia, hemos de pensar que el suceso sorprendente es poco probable. Y es f¨¢cil equivocarse al valorar la probabilidad de que algo suceda.

Un truco matem¨¢gico muy conocido, pero por eso mismo de obligada menci¨®n, para amenizar una reuni¨®n numerosa (pongamos de 30 personas) consiste en poner cara de vidente y anunciar que se ha percibido una ins¨®lita coincidencia: hay dos personas en la reuni¨®n que celebran su cumplea?os el mismo d¨ªa. La percepci¨®n subjetiva es la de que esta probabilidad es muy baja, ya que la probabilidad de que alguien escogido al azar cumpla a?os el mismo d¨ªa que t¨² es de 1/365 (algo menor si tenemos en cuenta a los nacidos el 29 de febrero). Sin embargo, la probabilidad de que entre 30 personas haya al menos dos con la misma fecha de cumplea?os es bastante alta (?puedes calcularla?).

Si no hay ninguna coincidencia en el grupo, casi seguro que hay al menos dos personas cuyas fechas de cumplea?os est¨¢n muy pr¨®ximas, por lo que puedes alegar que al captar con tu percepci¨®n mental dos fechas tan cercanas has pensado por un momento que eran la misma. Naturalmente, y a no ser que seas un embaucador, luego tienes que explicar el fundamento probabil¨ªstico del truco, con lo que contribuir¨¢s a combatir el anaritmetismo reinante.

En la misma l¨ªnea, he aqu¨ª un experimento que puedes realizar f¨¢cilmente con una baraja. Supongamos que es una baraja espa?ola de 40 cartas. Si vas poniendo las cartas sobre la mesa boca arriba a medida que las nombras por orden: as de oros, dos de oros, tres de oros¡­, la probabilidad de que una carta concreta, por ejemplo, el siete de copas, aparezca en el momento de nombrarla es de 1 entre 40, muy baja. Pero la probabilidad de que una carta cualquiera aparezca en el momento de nombrarla es bastante alta (?puedes calcularla?) y, sin embargo, sigue sorprendiendo a mucha gente, porque tendemos a pensar en la carta de la coincidencia como esa carta concreta y no una carta cualquiera. Algo parecido ocurre con la loter¨ªa: el ganador siente que ha ocurrido algo excepcional, casi inveros¨ªmil. Y, sin embargo, era seguro que el premio le iba a corresponder a alguien.

Y es que, como dec¨ªa Arist¨®teles, continuamente suceden tantas cosas que es sumamente probable que sucedan cosas sumamente improbables.

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