?Qu¨¦ es un conjunto?

Aunque la expresi¨®n ¡°ciencias exactas¡± haya ca¨ªdo en desuso, tendemos a pensar que los conceptos matem¨¢ticos y su correspondiente terminolog¨ªa son precisos e inmutables. ?Acaso no seguimos utilizando el teorema de Pit¨¢goras o los postulados de Euclides tal como fueron formulados hace m¨¢s de dos mil a?os? Pero no siempre es as¨ª y, de hecho, uno de los aspectos m¨¢s interesantes e instructivos de la historia de la ciencia es la forma en que se modifican los nombres y/o las definiciones de algunos objetos matem¨¢ticos (es muy significativo, en este sentido, que la geometr¨ªa empezara siendo la ¡°medici¨®n de la tierra¡±, como indica su nombre). En palabras del maestro Martin Gardner: ¡°Por lo general, el proceso es el siguiente: se da a los objetos un nombre x y se los define burdamente, de acuerdo con el uso y la intuici¨®n. Luego alguien descubre un objeto excepcional que se ajusta a la definici¨®n, pero en el que nadie piensa cuando se llama x a un objeto. Entonces se propone una definici¨®n nueva y m¨¢s precisa, que abarque o excluya dicho objeto excepcional. La nueva definici¨®n permanece vigente mientras no aparezcan nuevas excepciones, en cuyo caso hay que volver a revisar la definici¨®n, y este proceso puede continuar indefinidamente¡± (Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas, 1990).

Como vimos la semana pasada, algo tan familiar y aparentemente simple como una curva no es f¨¢cil de definir con precisi¨®n, y los numerosos intentos de las/os lectoras/es por dar una definici¨®n inequ¨ªvoca y abarcadora as¨ª lo atestiguan (ver comentarios de ?Qu¨¦ es una curva?). De hecho, como se?al¨® Adelaida L¨®pez, en matem¨¢ticas no se suele hablar de curvas ¡°a secas¡±, porque en muchos casos es necesario especificar a qu¨¦ tipo o concepto de curva nos referimos.

Y, huelga decirlo, las curvas no son un caso aislado. T¨¦rminos ¡ªy conceptos¡ª tan aparentemente claros como el de n¨²mero, conjunto, dimensi¨®n o infinito son igualmente escurridizos y pueden dar lugar a inquietantes paradojas (como comprobar¨¢s si, siguiendo a Einstein, intentas explic¨¢rselos a tu abuela, real o imaginaria).

Montones y conjuntos

La paradoja sorites o del mont¨®n, de la que nos hemos ocupado en m¨¢s de una ocasi¨®n, se debe en buena medida a la ambig¨¹edad del propio t¨¦rmino, que tiene que ver con la cantidad, pero no es cuantificable, por lo que, a primera vista, los conjuntos, que son como montones sin pretensiones de abundancia, parecer¨ªan inmunes a las paradojas. Sin embargo, como demostr¨® Bertrand Russell a principios del siglo XX (desarrollando una idea del propio Cantor, un detalle que se suele omitir), una noci¨®n meramente intuitiva de conjunto (?cu¨¢l es la tuya, sagaz lector(a)?) conduce a contradicciones como la siguiente: llamemos t¨ªpicos a los conjuntos que no se contienen a s¨ª mismos y at¨ªpicos a los que se contienen a s¨ª mismos (por ejemplo, un mont¨®n/conjunto de garbanzos no es un garbanzo, mientras que un conjunto/mont¨®n de montones es un mont¨®n).

?C¨®mo ser¨¢ el conjunto de los conjuntos t¨ªpicos, al que llamaremos T? Si T es t¨ªpico, hay que incluirlo en T, y por tanto est¨¢ incluido en s¨ª mismo, y por tanto es at¨ªpico¡­

Por la misma ¨¦poca en que Russell, con su paradoja del barbero (la versi¨®n m¨¢s popular de la paradoja de los conjuntos t¨ªpicos y at¨ªpicos), dinamitaba el proyecto logicista de Frege, los matem¨¢ticos franceses Gaston Julia y Pierre Fatou desarrollaban su teor¨ªa sobre la iteraci¨®n de funciones complejas, que da lugar a conjuntos ¡°monstruosos¡± (l¨¦ase fractales), como el del propio Julia o el archiconocido de Mandelbrot, cuyas intrincad¨ªsimas representaciones gr¨¢ficas son de una sobrecogedora belleza. Pero ese es otro art¨ªculo. O varios.

Pelotas y c¨®nicas

Las linternas, normalmente, proyectan un cono de luz m¨¢s o menos definido, y una c¨®nica es la intersecci¨®n de un plano con un cono, por lo que ni siquiera es necesaria la pelota (ver ¨²ltimo p¨¢rrafo de la semana pasada), como comprobar¨¢s f¨¢cilmente enfocando una pared a corta distancia: de frente se formar¨¢ un c¨ªrculo de luz, al ladear ligeramente la linterna el c¨ªrculo se convertir¨¢ en elipse, lad¨¦ala un poco m¨¢s y obtendr¨¢s una par¨¢bola¡­ Si introduces una pelota en el cono de luz, se forma un cono de sombra con el que podr¨¢s obtener c¨®nicas ¡°chinescas¡± m¨¢s definidas.

Y hablando de pelotas y c¨®nicas, la t¨ªpica imagen del ojo de halc¨®n ten¨ªstico parece una elipse. ?Lo es? ?Por qu¨¦? ?No deber¨ªa ser un c¨ªrculo, puesto que representa la intersecci¨®n de una esfera (la pelota) y un plano (la pista)?

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