La cuenta de la vieja

Durante las ¨²ltimas semanas, se ha venido desarrollando en la secci¨®n de comentarios un peque?o debate (amistoso, por el momento) entre los partidarios de lo que podr¨ªamos llamar ¡°cuenta de la vieja avanzada (CVA) y los que prefieren optar por m¨¦todos matem¨¢ticos m¨¢s ortodoxos.

La CVA (un concepto que seguramente habr¨ªa gustado a Fermi) es una cuenta de la vieja que combina la fuerza bruta del conteo y el tanteo con un enfoque ingenioso o una chispa de pensamiento lateral. Se podr¨ªa decir que la CVA es a la cuenta de la vieja a secas como el ¨¢baco chino a contar con los dedos.

La semana pasada se ped¨ªa demostrar que los cubos de MacMahon son 30, y tambi¨¦n en este caso ha habido divergencia metodol¨®gica entre ortodoxos y partidarios de la CVA. Entre los primeros destaca, una vez m¨¢s, nuestro comentarista habitual Francisco Montesinos:

¡°Numero las caras del cubo de forma que cualesquiera 2 caras opuestas sumen 7. C¨®mo los 6 colores deben aparecer en una u otra cara hay 6! formas distintas de colorear el cubo. Dicho de otra forma, si C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} es el conjunto de caras y C' = {a, b, c, d, e, f} el de colores, el n¨²mero de aplicaciones biyectivas de C en C' es 6!, y la pregunta es: ?cu¨¢ntas hay salvo rotaciones del cubo? Creo que se puede seguir aplicando el lema de Burnside tambi¨¦n en este caso siempre y cuando tengamos en cuenta dos grandes diferencias: 1) si en el caso de que los colores pudieran repetirse habl¨¢bamos de 6^6 posibles formas de colorear las caras, ahora tenemos que hablar de 6! maneras, y 2) siendo todas las caras de colores distintos, el ¨²nico giro con 6! configuraciones invariantes es el de ¨¢ngulo 0. Aplicando el lema con estos cambios, resulta que el n¨²mero de trayectorias es: N = (6! + 0 + 0 +...+ 0)/24 = 30. El lema, si no estoy equivocado, da para tanto o m¨¢s que la cuenta de la vieja!¡±.

Por supuesto, no est¨¢ equivocado: el lema da para mucho m¨¢s que la cuenta de la vieja, por astuta que esta sea. Pero hay casos en los que la CVA suministra un atajo que facilita los c¨¢lculos. As¨ª, Juan Zubieta ofrece una soluci¨®n dif¨ªcilmente superable en cuanto a concisi¨®n y claridad: ¡°Los 30 cubos salen as¨ª: tomando como referencia cualquiera de los colores, hay otros 5 para la cara opuesta; y tomando como referencia uno de los 4 restantes, hay 3! ordenaciones posibles del resto. Por tanto, 5 x 6¡å.

Una estrategia intermedia

A partir de la propia imagen del desarrollo de los cubos (ver ilustraci¨®n de la semana pasada), Salva Fuster propone una estrategia intermedia: ¡°Una imagen muy ordenada, la de los cubos de MacMahon. Respecto a la manera de contar los 30 casos, me parece que me he quedado en la CVSA (Semi), coincidente en cierta medida con la manera de ubicar los desarrollos de los cubos en la imagen adjunta: Coloreamos una cara cualquiera del primer color. Para colorear con el segundo color podemos optar por una cara contigua o por una cara opuesta.

Si hemos optado por una cara contigua, el resto de los colores se podr¨ªa elegir de 4! =24 maneras distintas, y si hemos optado por la opuesta, el resto se podr¨ªa elegir de 3! = 6 maneras distintas: 24 + 6 = 30.

Tambi¨¦n hab¨ªa pensado en la que comenta Francisco, aunque sin el lema de Burnside: Si fijamos una orientaci¨®n del cubo respecto a tres ejes, podemos pintar sus caras de 6! maneras distintas. Ahora bien, podemos orientar el cubo de 24 maneras, por lo que tendremos cada configuraci¨®n repetida 24 veces. Por lo tanto, 6!/24 = 30 coloraciones distintas¡±.

Veamos, para terminar, un sencillo ejemplo num¨¦rico de prevalencia de la CVA sobre los m¨¦todos ortodoxos: Hallar tres n¨²meros consecutivos cuyo producto es 3360. La forma algebraica de abordar el problema es obvia: x(x + 1)(x + 2) = 3360; pero la resoluci¨®n de la ecuaci¨®n de tercer grado es, cuando menos, engorrosa. ?Se te ocurre alguna forma de resoluci¨®n no algebraica?