L¨ªneas con nombre

Que por dos puntos cualesquiera de un plano pasa una ¨²nica recta es algo que creo que todos recordamos de nuestra ¨¦poca en el colegio. El hecho de que la misma recta pase por tres puntos definidos o calculados de maneras distintas ya podr¨ªa ser algo merecedor de ser rese?ados. Y si son m¨¢s de tres la cosa se torna ya en, al menos, relativamente sorprendente. Hoy veremos un interesante ejemplo de este hecho relacionado con los centros del tri¨¢ngulo.

Como comentaba Francesc Ossat en este comentario del art¨ªculo sobre los centros del tri¨¢ngulo de hace dos semanas, es cierto que el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un tri¨¢ngulo son colineales. Esto significa que, independientemente de cu¨¢l sea el tri¨¢ngulo inicial, ortocentro, baricentro y circuncentro est¨¢n siempre en la misma recta.

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Estos tres puntos, definido cada uno de ellos de una manera, siempre caen en la misma recta. Que dos caigan en una misma recta es lo que pasa siempre por definici¨®n; que sean tres los que cumplan esa propiedad ya es digno de menci¨®n, como coment¨¢bamos al principio. Por ello, dicha recta tiene nombre: recta de Euler o l¨ªnea de Euler, ya que fue el gran Leonhard Euler quien demostr¨® este hecho por primera vez.

La demostraci¨®n de Euler es relativamente larga, pero por suerte disponemos de demostraciones m¨¢s simples. A pesar de que algunas no son demasiado complicadas, no vamos a reproducirlas en este art¨ªculo (ya que excede el prop¨®sito del mismo), pero s¨ª vamos a hacer algunos comentarios sobre la l¨ªnea de Euler que considero que pueden ser interesantes.

Si el tri¨¢ngulo es equil¨¢tero, baricentro, circuncentro y ortocentro son exactamente el mismo punto. En otro caso, se tiene siempre que el baricentro es un punto interior del segmento que va desde el ortocentro hasta el circuncentro. Adem¨¢s, si llamamos B al baricentro, C al circuncentro y O al ortocentro, siempre se tiene que CO (longitud del segmento que va de C hasta O) es el triple de CB y BO es el doble que CB.

Y, posiblemente, la m¨¢s curiosa (que adem¨¢s est¨¢ relacionada con un objeto que ya hemos visto en este blog) es la siguiente: el punto medio del segmento que va del ortocentro al circuncentro es¡­el centro de la circunferencia de nueve puntos. S¨ª, la circunferencia de Feuerbach que presentamos en El Aleph hace unos meses. Pues s¨ª, su centro es exactamente el punto medio del segmento que une ortocentro y circuncentro. Y todo esto se cumple en cualquier tri¨¢ngulo plano que se os ocurra dibujar. No me dig¨¢is que no es precioso.

Como es habitual cuando hablamos de geometr¨ªa plana, os dejo un applet de GeoGebra en el que podr¨¦is jugar con los v¨¦rtices de un tri¨¢ngulo y a la vez tendr¨¦is la oportunidad de contemplar todas las propiedades que hemos descrito en este art¨ªculo:

Y quiero aprovechar esta ocasi¨®n para mostraros otra l¨ªnea con nombre. Se trata de la l¨ªnea de Simson (que no Simpson), y su nombre se debe al matem¨¢tico escoc¨¦s Robert Simson. Veamos c¨®mo construirla.

Partimos de un tri¨¢ngulo cualquiera y dibujamos su circunferencia circunscrita (que es la ¨²nica circunferencia que pasa por los tres v¨¦rtices del tri¨¢ngulo). Tomamos un punto de ella, P, y desde ese punto trazamos rectas perpendiculares a las rectas que contienen a los lados del tri¨¢ngulo. Dichas perpendiculares cortan a las rectas de los lados en tres puntos (un punto de corte por cada recta). Bien, pues esos tres puntos de corte est¨¢n alineados. La recta que pasa por dichos puntos se denomina recta de Simson (o l¨ªnea de Simson).

Que esos tres puntos de corte pertenezcan a la misma recta ocurre si, como hemos comentado, partimos desde un punto de la circunferencia circunscrita. Si partimos desde un punto que no est¨¦ en dicha circunferencia tambi¨¦n tenemos tres puntos de corte, pero en este caso no est¨¢n alineados, sino que forman un tri¨¢ngulo denominado tri¨¢ngulo pedal del tri¨¢ngulo inicial.

Os dejo un nuevo applet de GeoGebra en el que pod¨¦is mover tantos los v¨¦rtices del tri¨¢ngulo como el punto P alrededor de la circunferencia circunscrita. Los puntos en amarillo son los puntos de corte que hemos descrito antes, y si marc¨¢is la casilla L¨ªnea de Simson podr¨¦is ver que, sea como sea el tri¨¢ngulo y sea cual sea el punto de la circunferencia, esos tres puntos de corte est¨¢n siempre en la misma recta:

Una ¨²ltima curiosidad sobre esta l¨ªnea de Simson: aunque se conoce con ese nombre, no hay evidencias de que Robert Simson la estudiara (al menos no se han encontrado). La primera referencia conocida sobre esta construcci¨®n data de 1797 (con Simson ya fallecido) y corresponde al matem¨¢tico, tambi¨¦n escoc¨¦s, William Wallace (no, no es el protagonista de Braveheart). Por eso, en ocasiones se suele llamar teorema de Wallace-Simson al teorema matem¨¢tico relacionado con esta l¨ªnea del tri¨¢ngulo.

Como ya hemos comentado en alguna ocasi¨®n en este blog, el tri¨¢ngulo es una construcci¨®n sencilla pero para nada simple, ya que esconde verdaderas sorpresas y aut¨¦nticas bellezas dentro de ¨¦l. Esto de las l¨ªneas con nombre es, sin duda, una de ellas. Y sobre ello es interesante comentar que los dos ejemplos descritos aqu¨ª no son los ¨²nicos. Por ejemplo, tenemos tambi¨¦n la denominada l¨ªnea de Nagel, y seguro que hay m¨¢s. Os animo a que profundic¨¦is en este tema, a que busqu¨¦is informaci¨®n y a que intent¨¦is hacer progresos por vuestra cuenta, y nos habl¨¦is de vuestros descubrimientos en los comentarios.