El matem¨¢tico que estudi¨® las fronteras libres

No, el t¨ªtulo de este art¨ªculo no es una provocaci¨®n dirigida hacia esos ciudadanos que pretenden endurecer las leyes de inmigraci¨®n. Se trata del nombre de una teor¨ªa que le ha merecido la concesi¨®n del prestigioso premio Shaw 2018 de matem¨¢ticas a Luis Caffarelli (Buenos Aires, 1948) el pasado mes de mayo. La obra de Caffarelli, profunda y revolucionaria, ha resuelto una serie de problemas llamados de ¡°Frontera Libre¡± del ¨¢rea de las ecuaciones diferenciales.

Los modelos matem¨¢ticos que describen fen¨®menos provenientes de diferentes ramas de la ciencia y la tecnolog¨ªa tratan de magnitudes (temperatura, campo electromagn¨¦tico, concentraci¨®n de un componente en una aleaci¨®n met¨¢lica, potencial gravitatorio,¡­) cuyos valores dependen de diversas variables tales como son las coordenadas espaciales y el tiempo. Las leyes que gobiernan estos sistemas (conservaci¨®n de la masa, de la energ¨ªa, de la cantidad de movimiento,¡­) suelen venir dadas por relaciones precisas entre sus tasas de variaci¨®n (derivadas) temporales y espaciales (velocidades, aceleraciones, difusi¨®n, etc¨¦tera). El resultado es lo que en matem¨¢ticas llamamos una ecuaci¨®n, o un sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, cuyas soluciones queremos conocer. Algunas de las m¨¢s famosas son la ecuaci¨®n del calor; de las ondas; del potencial; de Schr?dinger; de Einstein; de Navier-Stokes; de Black-Scholes; de Boltzmann¡­

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En general suelen tener muchas (infinitas) soluciones, por lo que para identificar la que nos interesa (cerrar el sistema) es necesario introducir otros datos. Un caso importante es cuando se dan los valores medidos de la magnitud, o de su flujo, en los l¨ªmites del espacio en el que tiene lugar la acci¨®n (la frontera del dominio). Por ejemplo, estas ecuaciones aparecen al preguntarnos cu¨¢l es la temperatura en el interior de un cuerpo sabiendo la que tiene en su superficie, o cu¨¢l es el potencial el¨¦ctrico en el interior de un conductor si conocemos la corriente el¨¦ctrica que fluye a trav¨¦s de su frontera.

Pero, ?qu¨¦ ocurre cuando esta frontera del dominio es desconocida y forma parte importante de la cuesti¨®n? Estos son los problemas de frontera libre, a los que tanto ha contribuido Caffarelli. Un ejemplo es el de la ¡°solidificaci¨®n-licuefacci¨®n¡± en una mezcla de agua y hielo: ?c¨®mo es la superficie de separaci¨®n entre las dos fases s¨®lido-l¨ªquido? Otro ejemplo es el denominado ¡°problema del obst¨¢culo¡±: imaginemos una membrana el¨¢stica que hacemos descender hasta tocar a un cuerpo (obst¨¢culo) apoyado en el interior de un recinto plano, de manera que al final del proceso la membrana queda soldada a los bordes del recinto. Habr¨¢ una zona de contacto en la que la membrana coincide con el obst¨¢culo, mientras que fuera su forma debe satisfacer a las ecuaciones de la elasticidad: ?c¨®mo es la curva frontera de la zona de contacto? Son dos ejemplos que muestran la naturaleza y el inter¨¦s, para la ciencia y la tecnolog¨ªa, de estos problemas llamados de frontera libre, as¨ª como de su dificultad intr¨ªnseca.

Hasta la aparici¨®n de los trabajos de Luis Caffarelli en los a?os ochenta del pasado siglo, solo se conoc¨ªan resultados muy parciales. Pero Luis logr¨® entender en profundidad estos problemas combinando m¨¦todos del An¨¢lisis Arm¨®nico con las ideas del C¨¢lculo de Variaciones introducidas por Ennio de Giorgi y John Nash. La intuici¨®n de Caffarelli le permiti¨® visualizar las precisas estimaciones anal¨ªticas en t¨¦rminos mucho m¨¢s geom¨¦tricos y maleables. Y tambi¨¦n resolver otros problemas famosos que se hab¨ªan resistido a varias generaciones de matem¨¢ticos, tales como son las ecuaciones no-lineales de Monge-Amp¨¨re, o la naturaleza de transiciones de fase en los modelos de campo medio formulados por Ginzburg-Landau.

Caffarelli obtuvo el doctorado en Buenos Aires (1973) y enseguida se traslad¨® a la Universidad de Minnesota. A lo largo de su carrera ha sido tambi¨¦n profesor de las universidades de Chicago y Austin, y miembro del Instituto de Estudios Avanzados (Princeton) y del Instituto Courant (Nueva York). A mediados de la d¨¦cada de 1980 codirigimos un proyecto financiado por el Comit¨¦ Conjunto Hispano-Norteamericano que nos permiti¨®, entre otras actividades, organizar en la Universidad Internacional Men¨¦ndez Pelayo (UIMP) una semana de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Luego creamos una Escuela de Verano de Matem¨¢ticas en esta misma universidad que tuvo un ¨¦xito notable hasta que fue interrumpida por el asesinato de Ernest Lluch, Rector de la UIMP, perpetrado por la banda terrorista ETA.

En aquellos tiempos Caffarelli tambi¨¦n recibi¨® el Doctorado Honoris Causa de la Universidad Aut¨®noma de Madrid. Su vinculaci¨®n con esta universidad, y su colaboraci¨®n con matem¨¢ticos espa?oles, ha sido muy intensa y fruct¨ªfera, perteneciendo, desde su fundaci¨®n en 1985, al comit¨¦ editorial de la Revista Matem¨¢tica Iberoamericana. Adem¨¢s del reciente premio Shaw, considerado el nobel oriental y con una cuant¨ªa asociada de un mill¨®n de d¨®lares, Luis Caffarelli ha sido galardonado con otros premios y honores, tales como el Wolf y el B?cher.

Antonio C¨®rdoba es director del ICMAT.

Edici¨®n: ?gata Tim¨®n.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.