S¨®lidos de Johnson

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada por qu¨¦ nuestras estanter¨ªas no son hexagonales, como las celdillas de las abejas, en vez de rectangulares (orto¨¦dricas, para ser exacto). ?Son las abejas m¨¢s listas que nosotras, al construir un tipo de ¡°estanter¨ªas¡± estructuralmente m¨¢s resistente y que suponen un claro ahorro de material? El ¡°pacto con la naturaleza¡± que Le Corbusier ve¨ªa en el ¨¢ngulo recto es la explicaci¨®n. Somos seres grandes y pesados (comparados con las abejas), mucho m¨¢s dependientes del binomio horizontal-vertical, y apilamos cosas (ladrillos, cajas); por no hablar de los libros, peque?os ortoedros que guardamos en estanter¨ªas igualmente orto¨¦dricas.

Por la misma raz¨®n, las l¨ªneas rectas expl¨ªcitas y evidentes son m¨¢s abundantes en las obras humanas que en la naturaleza, seguidas de cerca por las circunferencias (baste pensar en las omnipresentes ruedas) y sus arcos.

Y hablando de l¨ªneas rectas y arcos de circunferencia, tenemos un claro ejemplo de su pugna (nunca mejor dicho) como reinas del dise?o en las espadas: las occidentales, hist¨®ricamente, han sido preferentemente rectas, mientras que en Oriente abundaban las curvas, como el alfanje ¨¢rabe o la katana japonesa. Pero ?podemos asegurar, sin ser expertos en armas blancas, que la hoja de una katana es un arco de circunferencia? ?No podr¨ªa ser otro tipo de curva m¨¢s id¨®nea para cortar cabezas? ?Qu¨¦ singular propiedad comparte un arco de circunferencia con un segmento rectil¨ªneo? ?Qu¨¦ otra l¨ªnea podemos incluir en este reducido grupo?

Poliedros ilustres

Algunos lectores han comentado que el escutoide no es propiamente un nuevo tipo de poliedro (ver comentarios de la semana pasada), sino, en todo caso, un nuevo objeto geom¨¦trico natural. No les falta raz¨®n, aunque eso no le resta ni un ¨¢pice de inter¨¦s al descubrimiento. Los poliedros, como hemos visto, se clasifican en funci¨®n de ciertas regularidades que los hacen singulares, tanto m¨¢s singulares cuanto m¨¢s estrictas son esas regularidades. Los m¨¢s destacados, como hemos visto en entregas anteriores, son los cinco s¨®lidos plat¨®nicos, poliedros regulares y convexos, seguidos por los s¨®lidos arquimedianos, los de Kepler-Poinsot y los de Catalan.

Para completar el elenco de poliedros ilustres, hay que mencionar los s¨®lidos de Johnson, los menos exigentes y, en consecuencia, los m¨¢s abundantes. Los s¨®lidos de Johnson son poliedros convexos cuyas caras son pol¨ªgonos regulares no todos del mismo tipo (pues entonces ser¨ªan plat¨®nicos) combinados de cualquier manera y en cualquier proporci¨®n. Por ejemplo, una pir¨¢mide como las de Egipto, de base cuadrada y cuyas caras laterales son tri¨¢ngulos equil¨¢teros, es un s¨®lido de Johnson (el primero de la lista, de hecho, ya que se clasifican de menos a m¨¢s complejo).

Dadas las escasas condiciones requeridas para entrar en su club, cabr¨ªa pensar que hay innumerables s¨®lidos de Johnson; sin embargo, solo existen 92, desde la sencilla pir¨¢mide cuadrada hasta la impronunciable hebesfenorrotonda triangular. Como de costumbre, invito a mis sagaces lectoras/es a dar un paseo anal¨ªtico por el pante¨®n de estos interesantes poliedros. Y a compartir sus reflexiones.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellosMaldita f¨ªsica,Malditas matem¨¢ticasoEl gran juego. Fue guionista deLa bola de cristal.