El principio del palomar

El primer acertijo de la semana pasada sobre calcetines y cajones es un ejemplo trivial del denominado ¡°principio del palomar¡± (sobre el que luego volveremos). Si consideramos que los calcetines son palomas y los colores son palomares, bastar¨¢n tres calcetines para que en un palomar (color) haya al menos dos. Si no nos conformamos con que los dos calcetines sean del mismo color, sino que queremos que ambos sean negros, tendremos que sacar ocho calcetines para estar seguros de conseguirlo, puesto que si sacamos siete podr¨ªan ser seis marrones y uno negro.

En cuanto al problema de los tres cajones, podemos razonar del siguiente modo: ¡°Puesto que he sacado un calcet¨ªn negro, este es el caj¨®n en el que todos son negros o el caj¨®n en el que la mitad son negros y la mitad marrones, y hay la misma probabilidad de que sea uno u otro caj¨®n; en el primer caso, el segundo calcet¨ªn ser¨¢ negro seguro, y en el segundo caso tengo un 50% de probabilidades de acertar; por lo tanto, la probabilidad de que el segundo calcet¨ªn tambi¨¦n sea negro es 3/4¡±. Podr¨ªamos razonar as¨ª, pero al hacerlo cometer¨ªamos dos errores, uno peque?o (si en los cajones hay muchos calcetines) y uno grande. ?Por qu¨¦?

En la Luna nuestro Pegaso pesar¨ªa seis veces menos; no podr¨ªa volar como una golondrina, pero lanz¨¢ndose al galope y abriendo las alas podr¨ªa elevarse y revolotear un poco.

Si el loro de John Silver se impulsa hacia arriba para alzar el vuelo, como es habitual, la recci¨®n sobre el hombro del pirata se trasladar¨¢ al puente y empeorar¨¢ la situaci¨®n. Lo mejor que puede hacer el loro es dejarse caer y empezar a volar cuando est¨¦ por debajo del nivel del puente, para que el aire que empuja hacia abajo con las alas no incida en ¨¦l.

Si la velocidad del pterod¨¢ctilo es V y la del viento v, con el viento a favor la resultante ser¨¢ V + v y con el viento en contra V ¨C v, y como el espacio recorrido es el mismo a la ida y a la vuelta, 4 (V + v) = 5(V ¨C v), de donde V = 9v; lo que podemos deducir es que la velocidad del pterod¨¢ctilo es 9 veces mayor que la del viento (que, por tanto, es un viento moderado).

El principio de Dirichlet

El principio del palomar, denominado tambi¨¦n principio de Dirichlet en honor del gran matem¨¢tico alem¨¢n, que lo formul¨® en el siglo XIX (aunque ¨¦l lo denomin¨® ¡°principio de las cajas¡±), dice, simplemente, que si hay m¨¢s palomas que palomares, en al menos un palomar habr¨¢ m¨¢s de una paloma. Parece una perogrullada, pero esta sencilla herramienta permite abordar eficazmente numerosos problemas matem¨¢ticos e inform¨¢ticos. Y tambi¨¦n algunos acertijos l¨®gicos, como ese cl¨¢sico que podr¨ªamos denominar ¡°la estad¨ªstica del mis¨¢ntropo¡±:

Si el 70% de los hombres son feos, el 70% son tontos y el 70% son malos, ?cu¨¢l es el m¨ªnimo porcentaje de hombres que son a la vez feos, tontos y malos?

O estos dos:

?Cu¨¢ntas personas hay, como m¨ªnimo, en Espa?a que tienen la misma edad y el mismo n¨²mero de cabellos en la cabeza?

Demuestra que en tu c¨ªrculo de amistades, e independientemente de que sea m¨¢s o menos endog¨¢mico, hay al menos dos personas que se han acostado con el mismo n¨²mero de miembros del grupo.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.