El teorema del matrimonio

?Podr¨ªa un hipot¨¦tico mercuriano disfrutar de un amanecer doble? S¨ª: al acercarse al perihelio, la velocidad angular orbital (VAO) de Mercurio ir¨ªa aumentando hasta igualarse a su velocidad angular de rotaci¨®n (VAR), momento en el que el Sol se detendr¨ªa en el cielo; a partir de ah¨ª, la VAO superar¨ªa durante un breve tiempo a la VAR y el Sol retroceder¨ªa un trecho, como si tomara carrerilla antes de volver a seguir su curso normal, y un mercuriano convenientemente situado lo ver¨ªa hundirse otra vez en el horizonte tras el amanecer para volver a salir poco despu¨¦s.

El hecho de que el per¨ªodo de rotaci¨®n de Mercurio (58,7 d¨ªas terrestres) sea 2/3 de su per¨ªodo de traslaci¨®n (88 d¨ªas terrestres) no es una coincidencia. Lo normal ser¨ªa que la relaci¨®n fuera 1/1 como en el caso de la Luna con respecto a la Tierra (o sea, el per¨ªodo de rotaci¨®n igual al de traslaci¨®n), y as¨ª se crey¨® que era hasta 1965; pero la considerable excentricidad de la ¨®rbita de Mercurio, con las consiguientes fluctuaciones en su velocidad de traslaci¨®n, hace que una resonancia orbital de 2/3 sea m¨¢s estable que el acoplamiento gravitatorio t¨ªpico.

Y hablando de acoplamiento, nuestro usuario destacado?Francisco Montesinos plante¨® la semana pasada un bonito problema que, a su vez, remite a un interesante teorema sobre emparejamientos. He aqu¨ª una versi¨®n simplificada del problema:

Tenemos dos caramelos de naranja, dos de lim¨®n y dos de fresa, y metemos cada par de caramelos del mismo sabor en una caja distinta. Obviamente, si sacamos un caramelo de cada caja, tendremos uno de cada sabor. Pero luego vaciamos las tres cajas sobre la mesa, revolvemos los seis caramelos como si fueran fichas de domin¨® y los volvemos a meter en las cajas al azar, dos en cada una. Sea cual sea la distribuci¨®n, ?podremos conseguir los tres sabores sacando un caramelo de cada caja? ?Y si en vez de tres sabores y dos caramelos de cada tenemos cuatro sabores -y cuatro cajas- y tres caramelos de cada sabor?

Parece un problema sencillo, pero no lo es tanto si lo generalizamos a m sabores -y cajas- y n caramelos de cada sabor, y una forma de abordarlo es mediante el teorema de Hall, tambi¨¦n conocido como teorema del matrimonio porque se suele ilustrar mediante dos grupos, uno de hombres y otro de mujeres, con el mismo n¨²mero de individuos en cada grupo. Para cada mujer, hay uno o m¨¢s hombres dispuestos a casarse con ella, y cualquier hombre se casar¨ªa con cualquier mujer que quisiera casarse con ¨¦l (una situaci¨®n similar a la del famoso musical Siete novias para siete hermanos). ?Es posible emparejar satisfactoriamente a todas estas personas?

Sugiero a mis sagaces lectoras/es que partan del problema m¨¢s sencillo de los caramelos (tres sabores y dos de cada) y vayan avanzando hasta las nunca bien ponderadas complejidades conyugales en sus posibles variantes.

Carlo Frabetti?es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos?Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas?o?El gran juego. Fue guionista de?La bola de cristal.