El ap¨¦ndice del ¡®Discurso del m¨¦todo¡¯ que revolucion¨® las matem¨¢ticas

En junio de 1637 se public¨® en franc¨¦s y, de forma an¨®nima, el Discurso del m¨¦todo, cuyo autor era el fil¨®sofo y matem¨¢tico Ren¨¦ Descartes. Es una obra trascendental de la filosof¨ªa con tambi¨¦n una enorme influencia en las matem¨¢ticas, debido a uno de los ap¨¦ndices del libro, titulado La geometr¨ªa. En ¨¦l, Descartes propone un sistema que permite usar el ¨¢lgebra para resolver problemas de geometr¨ªa, creando una poderosa herramienta ¡ªla geometr¨ªa anal¨ªtica¡ª que uni¨® dos ¨¢reas de las matem¨¢ticas hasta ese momento separadas.

Ren¨¦ Descartes naci¨® en Francia en 1596 y desde su juventud tuvo una s¨®lida formaci¨®n en humanidades. Fue un apasionado de la cultura griega y, en concreto, de las grandes obras cl¨¢sicas de las matem¨¢ticas como Los elementos de Euclides, La aritme?tica de Diofanto, Las co?nicas de Apolonio o La coleccio?n matema?tica de Pappus. Tambi¨¦n estaba al tanto de los nuevos desarrollos de la matem¨¢tica italiana llevados a cabo por Niccol¨° Fontana (Tartaglia), Gerolamo Cardano o Franciscus Vieta.

Partiendo de todo este conocimiento, Descartes desarroll¨® ¡ªa la vez que Pierre de Fermat, aunque el papel de este ¨²ltimo qued¨® injustamente borrado de esta historia¡ª la geometr¨ªa anal¨ªtica. Esta nos permite describir conceptos geom¨¦tricos mediante ecuaciones algebraicas. As¨ª, un c¨ªrculo situado en el centro del plano y con radio uno, se representa por una ecuaci¨®n x? + y? = 1. Es decir, viene descrito por los puntos de coordenadas (x, y) que cumplen la ecuaci¨®n anterior.

De hecho, la noci¨®n de coordenadas fue introducida rigurosamente en La geometr¨ªa, con la definici¨®n de unos ejes coordenados, que pod¨ªan ser oblicuos. Cuenta la leyenda que Descartes ¡ªque acostumbraba a estar mucho tiempo tumbado en su cama por motivos de salud¡ª, ide¨® este concepto al preguntarse c¨®mo podr¨ªa describir la posici¨®n de una mosca que se posaba en su techo. Decidi¨® que las esquinas del techo podr¨ªan servir como referencia para indicar de forma precisa el lugar en el que estaba el insecto, solo con unos n¨²meros ¡ªsu distancia, medida perpendicularmente, a una esquina vertical y a otra horizontal¡ª.

Descartes, acostumbrado a estar mucho tiempo tumbado en su cama por motivos de salud, ide¨® el concepto de ejes coordenados al preguntarse c¨®mo describir la posici¨®n de una mosca en su techo

Con esta nueva visi¨®n anal¨ªtica, la geometr¨ªa cl¨¢sica dej¨® de ser una matem¨¢tica trazada en papel en la que se razonaba en t¨¦rminos de figuras y construcciones con regla y comp¨¢s, como hab¨ªa sido hasta el momento, para entenderse de manera mucho m¨¢s abstracta, usando todo el potencial del ¨¢lgebra. As¨ª lo recalca Descartes en el ap¨¦ndice: ¡°Todos los problemas de geometri?a pueden reducirse fa?cilmente a te?rminos tales, que no es necesario conocer de antemano ma?s que las longitudes de algunos segmentos para su construcci¨®n¡±.

De este modo, la geometr¨ªa anal¨ªtica permite explorar las propiedades de un objeto geom¨¦trico realizando c¨¢lculos algebraicos directamente en la ecuaci¨®n que lo describe. Esto permiti¨® utilizar toda la potencia del ¨¢lgebra para tratar conceptos hasta ese momento muy escurridizos, que solo se estudiaban con los m¨¦todos de la geometr¨ªa cl¨¢sica de la antigua Grecia. Tambi¨¦n, Descartes pudo afirmar que todas las ecuaciones cuadr¨¢ticas ¡ªes decir, las ecuaciones polin¨®micas de grado dos, como x? + y? = 1¡ª corresponden a las c¨®nicas introducidas por Apolonio.

Por otro lado, con esta nueva herramienta fue posible obtener nuevos objetos geom¨¦tricos, desconocidos hasta ese momento, simplemente modificando una ecuaci¨®n dada o empleando diferentes operaciones algebraicas. As¨ª, se pod¨ªan clasificar las curvas en ¡°geom¨¦tricas¡±, si es posible escribirlas como un polinomio de dos variables igual a cero, o ¡°mec¨¢nicas¡± ¡ª¡°trascendentes¡± seg¨²n Gottfried Leibniz¡ª, en caso contrario. Descartes no dio especial importancia a esta distinci¨®n, aunque esto abri¨® nuevas tierras inexploradas en las matem¨¢ticas a?os m¨¢s tarde.

En este texto, el matem¨¢tico incorpor¨® por primera vez notaciones que nos resultan conocidas, como las ¨²ltimas letras del alfabeto x, y, z para denotar las inc¨®gnitas o las primeras letras a, b, c para las constantes. La geometr¨ªa es, seguramente, el primer texto que se puede leer sin dificultades por un estudiante actual y ello es debido a que hemos adoptado casi en su totalidad la notaci¨®n empleada en ella. Adem¨¢s, desvinculaba las potencias de un n¨²mero de su significado geom¨¦trico, por ejemplo, una potencia al cuadrado se desvinculaba con la noci¨®n de ¨¢rea, o al cubo de la noci¨®n de volumen, como se hab¨ªa hecho hasta el momento.

La contribuci¨®n a las matem¨¢ticas de Descartes es imperecedera. Como se?al¨® el gran matem¨¢tico Jean le Rond D¡¯Alembert: ¡°Lo que ha inmortalizado el nombre de este gran hombre es la aplicacio?n que ha sabido hacer del ¨¢lgebra a la geometri?a, una idea de las ma?s vastas y felices que haya tenido el espi?ritu humano, y que sera? siempre la llave de los ma?s profundos descubrimientos no solamente en la geometri?a, sino en todas las ciencias fi?sico-matema?ticas¡±.

Efectivamente, este nuevo punto de vista propuesto por Descartes fue crucial para una de las m¨¢s grandes revoluciones cient¨ªficas que se iba a desarrollar a?os despu¨¦s: el desarrollo del c¨¢lculo infinitesimal por Isaac Newton y Gottfried Leibniz a finales del siglo XVII. El c¨¢lculo infinitesimal permiti¨® describir la naturaleza en t¨¦rminos matem¨¢ticos, dando paso a los innumerables desarrollos cient¨ªficos y tecnol¨®gicos que vinieron en los a?os posteriores.

David Mart¨ªn de Diego es investigador del Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT)

?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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