El peque?o teorema

La semana pasada vimos algunas de las caracter¨ªsticas del vers¨¢til n¨²mero 8, que es, entre otras cosas, un n¨²mero de Leyland. Veamos lo que dice al respecto nuestro comentarista habitual Bretos Burs¨®:

¡°La sucesi¨®n de los n¨²meros de Leyland aparece en la OEIS, pero a?ade como elemento inicial el n¨²mero 3, sin dar una explicaci¨®n. Contestar a la pregunta de Carlo es f¨¢cil: se suprime x=1 o y=1 porque en caso contrario todo n¨²mero n ser¨ªa de Leyland (n=1^(n-1)+(n-1)^1). En la entrada de la OEIS hay un enlace a un archivo de texto con los 5.000 primeros n¨²meros de Leyland, y me ha llamado la atenci¨®n que el n¨²mero 98 es 20000000000. Planteo la pregunta obvia: sabiendo que un n¨²mero de Leyland es igual a x^y + y^x, con x e y enteros mayores que 1, ?c¨®mo hallar lo que valen x e y? Para algunos es muy f¨¢cil, pero ?c¨®mo se resolver¨ªa, por ejemplo, para el del lugar 100, que es 31381070257?¡±.

La OEIS (por sus siglas en ingl¨¦s) es la Enciclopedia Online de las Secuencias de N¨²meros Enteros, y a m¨ª tambi¨¦n me ha sorprendido que se incluya el 3 al comienzo de la lista, pues en todos los art¨ªculos que hab¨ªa le¨ªdo hasta ahora sobre los n¨²meros de Leyland se considera que el 8 es el primero de ellos. ?Se te ocurre una explicaci¨®n para esta inclusi¨®n? Y, dado un n¨²mero de Leyland, ?c¨®mo podemos hallar la x e y que lo generan?

Dentro de los n¨²meros de Leyland tienen especial inter¨¦s los que son primos, sobre todo por su utilizaci¨®n en criptograf¨ªa. El menor primo de Leyland es 17, el segundo 593 y no encontramos otro hasta llegar al 32993, de donde saltamos al 2097593: los primos de Leyland est¨¢n muy espaciados y su secuencia crece muy r¨¢pidamente. El mayor primo de Leyland conocido es el correspondiente a los valores 2929 y 8656 para x e y, un n¨²mero de 30008 d¨ªgitos.

Tambi¨¦n hay, entre los n¨²meros de Leyland grandes probables primos, como el correspondiente a 9 y 314738. Como su nombre indica, un probable primo es un n¨²mero que es muy probable que sea primo, aunque no se haya demostrado que lo sea. Los probables primos superan el test de primalidad de Fermat, basado en su ¡°peque?o teorema¡±.

Un teorema no tan peque?o

El peque?o teorema de Fermat dice que si a es un entero positivo y p un primo que no es factor de a, entonces p ha de ser un factor de a??? ¨C 1. Por ejemplo, si a = 8 y p = 3, vemos que 8? ¨C 1 = 63, y 63 es divisible 3. ?C¨®mo podemos basar en este teorema un test de primalidad capaz de detectar probables primos?

Se denomina ¡°peque?o teorema de Fermat¡± para distinguirlo del conocido como ¨²ltimo teorema de Fermat y, en la actualidad, como teorema de Fermat-Wiles, ya que fue demostrado en 1995 por el matem¨¢tico brit¨¢nico Andrew Wiles. Dicho teorema afirma que no es posible encontrar tres n¨²meros enteros positivos x, y, z tales que verifiquen la ecuaci¨®n, x? + y? = z?, para n mayor o igual, que 3. Lo que parece una inocente ampliaci¨®n del teorema de Pit¨¢goras resulta imposible; una imposibilidad tan dif¨ªcil de demostrar que los matem¨¢ticos han tardado m¨¢s de tres siglos en conseguirlo. El propio Wiles describi¨® as¨ª su proceso:

¡°Entras en la primera habitaci¨®n de una mansi¨®n y est¨¢ a oscuras. Vas tropezando con los muebles, pero poco a poco aprendes d¨®nde est¨¢ cada elemento del mobiliario. Al final, tras seis meses m¨¢s o menos, encuentras el interruptor de la luz y de pronto todo se ilumina. Puedes ver exactamente d¨®nde est¨¢s. Entonces vas a la siguiente habitaci¨®n y te pasas otros seis meses a oscuras. As¨ª, todos estos progresos, aunque a veces son muy r¨¢pidos y se realizan en un d¨ªa o dos, son la culminaci¨®n de meses precedentes de tropezones en la oscuridad, sin los cuales el avance habr¨ªa sido imposible¡±.

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