Primalidad

La simplificaci¨®n m¨¢s evidente de la criba de Erat¨®stenes, de la que nos ocupamos la semana pasada, es partir de la lista de los impares (con el 2 al principio), pues todos los pares son m¨²ltiplos de 2. Y otra consiste en tachar los m¨²ltiplos del en¨¦simo n¨²mero primo, pn, empezando por pn?, puesto que en los pasos previos ya se han tachado los m¨²ltiplos de pn correspondientes a todos los anteriores n¨²meros primos, es decir, 2pn, 3pn, 5pn, 7pn...

Como vimos, se supone (aunque no est¨¢ demostrado) que hay infinitas parejas de primos gemelos, es decir, que son impares consecutivos, como 3 y 5 o 5 y 7 (por cierto, 3, 5 y 7 son primos trillizos, ?hay alguna otra terna as¨ª?). Hay ocho parejas de primos gemelos menores que 100:

3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31, 41 y 43, 59 y 61, 71 y 73.

?Cu¨¢ntas hay entre 100 y 200?

Obs¨¦rvese que, a excepci¨®n de la primera pareja de primos gemelos, 3 y 5, la suma de los dos miembros de todas las dem¨¢s parejas es m¨²ltiplo de 12: 5 + 7 = 12, 11 + 13 = 24, 17 + 19 = 36, 29 + 31 = 60, 41 + 43 = 84¡­ ?Por qu¨¦?

Obviamente, y puesto que todos los primos (menos el 2) son impares, la diferencia entre dos primos no puede ser 3, as¨ª que los primos m¨¢s pr¨®ximos (sin contar, por supuesto el caso excepcional y ¨²nico del 2 y el 3), despu¨¦s de los gemelos, son aquellos cuya diferencia es 4, llamados primos parientes, como 3 y 7 o 7 y 11, que son las primeras parejas de la lista. Entre los cien primeros n¨²meros, hay ocho parejas de primos parientes:

3 y 7, 7 y 11, 13 y 17, 19 y 23, 37 y 41, 43 y 47, 67 y 71, 79 y 83.

Obs¨¦rvese que hay el mismo n¨²mero de parejas de primos gemelos que de primos parientes entre los n¨²meros menores que 100, ?hay alguna raz¨®n para ello o es mera coincidencia (suponiendo que tal concepto tenga alg¨²n sentido al hablar de matem¨¢ticas)?

Del mismo modo que 3, 5 y 7 son trillizos, 3, 7 y 11 forman una terna de parientes consecutivos. ?Hay alguna m¨¢s?

Las parejas de n¨²meros primos cuya diferencia es 6, como 5 y 11, se denominan sexis (nada que ver con un hipot¨¦tico atractivo er¨®tico: sex es seis en lat¨ªn). Las parejas de primos sexis menores que 100 son:

5 y 11, 7 y 13, 11 y 17, 13 y 19, 17 y 23, 23 y 29, 31 y 37, 37 y 43, 41 y 47, 47 y 53, 53 y 59, 61 y 67, 67 y 73, 73 y 79, 83 y 89.

Basta echar un vistazo a la lista anterior para ver que hay tr¨ªos de primos sexis (evitemos los chistes f¨¢ciles), como 7, 13 y 19 o 17, 23 y 29, e incluso cuartetos, como 5, 11, 17 y 23 u 11, 17, 23 y 29. ?Puede haber tambi¨¦n quintetos de primos sexis?

Prueba de primalidad

Todo lo anterior, m¨¢s lo visto en otras entregas, puede dar la falsa impresi¨®n de que sabemos mucho sobre los n¨²meros primos; pero lo cierto es que todav¨ªa no resulta f¨¢cil determinar si un n¨²mero es primo o no. Y aunque se ha avanzado mucho desde la criba de Erat¨®stenes gracias a los trabajos de eminentes matem¨¢ticos como Fibonacci, Cataldi, Mersenne, Fermat, Euler, Gauss, Lucas¡­, todav¨ªa no sabemos resolver el problema de la factorizaci¨®n (descomposici¨®n de un n¨²mero entero en sus factores primos) en lo que en la jerga computacional se denomina tiempo polin¨®mico. Pero ese es otro art¨ªculo.

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