Proporciones desconcertantes

Los desconcertantes n¨²meros aleatorios de la semana pasada dieron lugar a interesantes comentarios de mis amables lectoras/es. A la pregunta: ¡°?Por qu¨¦ es m¨¢s probable que el n¨²mero de habitantes de una ciudad empiece por 1 que por 9?¡±, Jonathan Arnold contesta (presumiblemente desde un pa¨ªs de habla inglesa, a juzgar por su nombre y por la ausencia de tildes en su texto):

¡°Si pensamos en la poblaci¨®n de un n¨²cleo urbano de, por ejemplo, 800 o 900 habitantes, le har¨¢ falta incrementar la poblaci¨®n en 100 a 200 habitantes para alcanzar la cifra de 1.000 habitantes, n¨²mero que comienza con un 1. A partir de ah¨ª, har¨¢ falta aumentar la poblaci¨®n con 1.000 habitantes para que el primer n¨²mero pase de n a n+1¡å.

Y Xoaqu¨ªn Fern¨¢ndez a?ade:

¡°Si aplicamos la ley de Zipf por tramos de poblaci¨®n (de 10.000 a 99.999; de 100.000 a 999.999¡­) podr¨ªamos explicar bien el resultado. Para cada tramo el n¨²mero de poblaciones en el segmento inicial es mayor que en el siguiente. Mi explicaci¨®n har¨ªa hincapi¨¦ en las econom¨ªas de aglomeraci¨®n a partir de una distribuci¨®n inicial de la poblaci¨®n m¨¢s equilibrada; ser¨ªa un proceso acumulativo, que ir¨ªa seleccionando, a veces por azar, alg¨²n punto, y reforz¨¢ndolo¡±.

La ley de Zipf fue formulada a mediados del siglo pasado por el ling¨¹ista estadounidense George K. Zipf, que aplic¨® el an¨¢lisis estad¨ªstico al estudio de diferentes lenguas y hall¨® que la frecuencia de aparici¨®n de las palabras sigue una pauta similar a la establecida por la ley de Benford-Newcomb (pero ese es otro art¨ªculo).

Por su parte, Adelaida L¨®pez trae a colaci¨®n una interesante an¨¦cdota en relaci¨®n con el tema que nos ocupa:

¡°Existen astucias estad¨ªsticas sencillas para detectar cierto tipo de fraudes. Por ejemplo, Hill (el primero en formalizar matem¨¢ticamente la ley de Benford) propuso a sus alumnos el ejercicio, para casa, de lanzar una moneda 200 veces al aire y anotar cu¨¢ndo sal¨ªa cara y cu¨¢ndo cruz. Los m¨¢s perezosos, y tramposos, no se tomaron la molestia de lanzar realmente 200 veces la moneda y anotaron aleatoriamente cara y cruz de forma bastante uniforme, pero a ninguno se le ocurri¨® anotar 6 veces seguidas cara o cruz, pues intuitivamente no consideraron probable que se dieran series consecutivas tan largas, lo cual es falso cuando se realizan 200 lanzamientos reales. Por ese fallo detect¨® Hill a los tramposos¡±.

De hecho, la probabilidad de que al tirar una moneda 200 veces salgan en alg¨²n momento 6 caras o 6 cruces seguidas es del 96 % aproximadamente (?puedes calcularla?), por lo que una distribuci¨®n demasiado uniforme de caras y cruces era una se?al (casi) segura de haber hecho trampa.

Contando palabras, apellidos, personas¡­

En pr¨®ximas entregas nos ocuparemos (no es plural mayest¨¢tico: cuento, como de costumbre, con la colaboraci¨®n de mis sagaces lectoras/es) de la antes citada ley de Zipf (y del principio de Pareto, con el que est¨¢ estrechamente relacionada) y, como precalentamiento, te propongo el siguiente ejercicio: elige un texto cualquiera de cierta extensi¨®n (un cap¨ªtulo de un libro, un relato, un art¨ªculo largo¡­), anota el n¨²mero de veces que aparecen las cinco palabras m¨¢s frecuentes e intenta establecer una relaci¨®n entre dichas frecuencias. Si la onom¨¢stica te atrae m¨¢s que la ling¨¹¨ªstica, puedes hacer lo propio con los cinco apellidos m¨¢s frecuentes. O con cualquier otro conjunto que se preste a ordenar sus subconjuntos por el n¨²mero de elementos, como las poblaciones de las ciudades m¨¢s populosas de un pa¨ªs.