Una forma alternativa de multiplicar matrices

Todos conocemos a un amigo del instituto que odiaba las matem¨¢ticas. Mateo, por poner nombre a nuestro compa?ero, no pod¨ªa entender qu¨¦ motivo hac¨ªa de todo ese enjambre de s¨ªmbolos algo ¨²til para la vida. Uno de los temas que m¨¢s enerva a Mateo es la multiplicaci¨®n de matrices. Recordemos que las matrices son tablas de n¨²meros A = (A(j,k)) (normalmente con el mismo n¨²mero de filas y columnas), donde el n¨²mero A(j,k) se sit¨²a en la fila j y la columna k. Nacieron del ¨¢lgebra lineal y sin ellas no existir¨ªan los ordenadores o los m¨®viles, por poner un ejemplo que no se cuenta en el instituto.

La suma de dos matrices A = (A(j,k)) y B = (B(j,k)) es m¨¢s que aceptable. En cada posici¨®n (j,k) simplemente sumamos los elementos que hab¨ªa en esa misma posici¨®n en las matrices A y B, as¨ª A + B = (A(j,k) + B(j,k)). Pero el producto tiene un aspecto m¨¢s enrevesado que desconcierta a Mateo. Si A y B tienen n filas y n columnas, entonces la posici¨®n (j,k) de A ¡¤ B es el resultado de multiplicar el primer elemento de la fila j de A por el primer elemento de la columna k de B, hacer lo propio con los segundos elementos, con los terceros, etc. y sumar finalmente todos esos n productos.

Para colmo, resulta que A ¡¤ B no es lo mismo que B ¡¤ A, en general. Llegados a este punto, Mateo se indigna: ?No era cierto que el orden de los factores no altera el producto? Pues no, la propiedad conmutativa del producto de n¨²meros no funciona para el producto de matrices. Esto puede parecer desalentador, pero lo cierto es que la ausencia de la propiedad conmutativa es muy com¨²n en la vida cotidiana. No es lo mismo calentar agua y verter aceite que calentar aceite y verter agua (no hagan el experimento). Tampoco que un trilero intercambie los vasos de las posiciones 1 y 2 seguido de las posiciones 1 y 3 a que lo haga en orden inverso. Podr¨ªamos continuar as¨ª un buen rato.

En 1925, Werner Heisenberg dio un giro dram¨¢tico a nuestra comprensi¨®n del mundo f¨ªsico al demostrar que se pueden deducir fen¨®menos cu¨¢nticos desde las ecuaciones de la f¨ªsica de Newton

Pese al desconcierto de Mateo, las matrices tienen aplicaciones en una enorme cantidad de contextos, entre ellas en la mec¨¢nica cu¨¢ntica. En 1925, Werner Heisenberg dio un giro dram¨¢tico a nuestra comprensi¨®n del mundo f¨ªsico al demostrar que se pueden deducir fen¨®menos cu¨¢nticos desde las ecuaciones de la f¨ªsica de Newton, cuando interpretamos las variables que dependen del tiempo como matrices infinitas en lugar de funciones. La mec¨¢nica matricial r¨¢pidamente atrajo la atenci¨®n de John von Neumann (eminente matem¨¢tico conocido en otros c¨ªrculos por su participaci¨®n en el Proyecto Manhattan o en el dise?o de los ordenadores modernos), que observ¨® por primera vez que las geometr¨ªas eucl¨ªdea y riemanniana ¡ªlos modelos fundamentales en mec¨¢nica cl¨¢sica y relatividad general, respectivamente¡ª no reflejan nuestro conocimiento del mundo cu¨¢ntico.

La teor¨ªa de ¨¢lgebras de von Neumann estudia objetos no conmutativos como las matrices de Heisenberg y da rigor matem¨¢tico a la mec¨¢nica matricial. El programa cient¨ªfico iniciado por von Neumann es un reto cient¨ªfico que trasciende a sus propias contribuciones y en el que han participado matem¨¢ticos de talla indiscutible. Gracias a su trabajo, hoy podemos hablar de geometr¨ªa no conmutativa, probabilidad cu¨¢ntica, espacios de operadores, grupos cu¨¢nticos, espacios Lp no conmutativos... Teor¨ªas matem¨¢ticas todas ellas que aparecen nuevamente de forma natural en f¨ªsica te¨®rica.

A pesar de todo ello, Mateo no puede evitar pensar que el producto de matrices es innecesariamente complicado e introduce uno nuevo: A ? B = (A(j,k) . (B(j,k)). Es decir, como en la suma, el resultado es una matriz que tiene en la posici¨®n (j,k) el producto de los elementos de la posici¨®n (j,k) de A y B. Mateo est¨¢ orgulloso, no s¨®lo A ? B es mucho m¨¢s sencillo que A ¡¤ B, tambi¨¦n es cierto que A ? B = B ? A.

Los multiplicadores de Schur aparecen en m¨²ltiples ocasiones desde mediado el siglo XX. Los trabajos de Alexander Grothendieck orbitan en torno a una caracterizaci¨®n de ellos

Es posible que su profesor suspenda a Mateo por tal aberraci¨®n, o posiblemente se sonr¨ªa y le explique que A ? B es el producto de Hadamard, as¨ª llamado en honor a su creador, el matem¨¢tico franc¨¦s Jacques Hadamard (1865-1963). Este producto tambi¨¦n se conoce como producto de Schur, pues fue el matem¨¢tico ruso-alem¨¢n Issai Schur (1875-1941) quien realmente explot¨® sus propiedades. A pesar de su naturaleza conmutativa, el producto de Schur esconde muchos fen¨®menos cu¨¢nticos. Si fijamos una matriz M, la transformaci¨®n de matrices que asigna a cualquier matriz A el producto M ? A se conoce como multiplicador de Schur de s¨ªmbolo M.

Los multiplicadores de Schur son transformaciones misteriosas que aparecen en m¨²ltiples ocasiones ilustres desde mediado el siglo XX. Los primeros trabajos de Alexander Grothendieck ¡ªMedalla Fields en 1966 y con una vida excepcionalmente dram¨¢tica¡ª, orbitan en torno a una caracterizaci¨®n suya de ciertos multiplicadores de Schur. Desde finales de los a?os 70, el matem¨¢tico dan¨¦s Uffe Haagerup codific¨® profundas propiedades geom¨¦tricas de ciertos grupos en t¨¦rminos de propiedades anal¨ªticas de multiplicadores de Schur. En 2011 los multiplicadores de Schur aparecieron en dos resultados fundamentales: la soluci¨®n de la conjetura de Krein (1964) por Denis Potapov y Fedor Sukochev, as¨ª como un resultado muy innovador de Vincent Lafforgue y Mikael de la Salle que abre una puerta a la conjetura de rigidez de Connes, uno de los problemas m¨¢s dif¨ªciles del ¨¢rea. El ¨²ltimo episodio de esta historia es un resultado reciente, que resuelve un problema sobre armon¨ªas cu¨¢nticas formulado por Mikael de la Salle.

As¨ª pues, seguro que Mateo se siente aliviado al comprobar que su sentido com¨²n no le lleva a sinsentidos, solo es necesario explorar un poco m¨¢s. Quiz¨¢s, despu¨¦s de comprender por qu¨¦ sus ideas son ¨²tiles, se sienta m¨¢s animado a profundizar en las ideas de otros y revisar el producto de matrices y qu¨¦ es eso de la ausencia de conmutatividad.

Javier Parcet es investigador cient¨ªfico del Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas en el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT)

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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