N¨²meros m¨¢gicos

Debido a un lapsus moment¨¢neo, la entrega anterior se titul¨® durante unos minutos ¡°La realidad de los n¨²meros m¨¢gicos¡±. Y como en ciencia no se desaprovecha nada, y menos los errores (que a menudo son de lo m¨¢s fecundos: de ah¨ª que la expresi¨®n ¡°ensayo y error¡± se haya convertido en el lema de la investigaci¨®n cient¨ªfica), ese lapsus es un buen pretexto para hablar de los n¨²meros m¨¢gicos y devolverles la titularidad que usurparon por un momento.

Pero antes hay que buscar el tesoro enterrado de la semana pasada. Y as¨ª lo ha encontrado Alberto Ad¨¢n, que, al contrario que el joven aventurero del cuento, s¨ª sabe usar los n¨²meros imaginarios:

¡°Si planteas el mapa como el plano complejo y las posiciones del roble, el pino y la horca como tres n¨²meros complejos, puedes calcular la posici¨®n del tesoro. Es ¨²til suponer que la horca es el origen del plano. Andar hacia el roble es situarse en el complejo R, y cambiar la misma distancia tras girar a la derecha es equivalente a sumar a R el complejo Rx(-j) (j es la unidad imaginaria). Con el pino hacemos lo propio: en este caso el giro a la izquierda y caminar la distancia que hab¨ªa hasta el pino equivale a sumar Pxj. El punto medio de la l¨ªnea entre dos puntos equivale a la semisuma de los dos n¨²meros complejos, as¨ª que el tesoro est¨¢ en el resultado de hacer (1/2)(R(1-j)+P(1+j)) = (1/2)x(R+P) + (1/2)x(R-P)x(-j). El primer sumando es el punto medio entre R y P, y el segundo es la mitad de la distancia de ir de P a R pero girada a la derecha (por estar multiplicada por -j). Para llegar al tesoro hay que ir del pino al roble en l¨ªnea recta, pararse en el punto a mitad de recorrido contando los pasos (esto es el primer sumando), girar a la derecha y andar el n¨²mero de pasos contados (2¡ã sumando)¡±.

Obs¨¦rvese que usa j en vez de i para representar la unidad imaginaria (¡Ì-1); ello se debe a que Alberto es ingeniero de telecomunicaciones, y en electr¨®nica la i se puede interpretar como intensidad.

Pero, con un poco de pensamiento lateral, es f¨¢cil hallar el tesoro sin conocer los n¨²meros complejos, tal como se?ala Javier Ma:

¡°Aunque el joven no supiese nada de matem¨¢ticas, si hubiese le¨ªdo este art¨ªculo podr¨ªa haber encontrado el tesoro. En efecto, el art¨ªculo sugiere que el problema tiene soluci¨®n independientemente de d¨®nde estuviese la horca, as¨ª que bastar¨ªa con comenzar a caminar desde cualquier punto; por ejemplo, suponiendo que la horca est¨¢ en el mismo punto que el roble, el tesoro se encuentra r¨¢pidamente¡±.

Por otra parte, Bretos Burs¨® ha comentado que ¡°muchos teoremas de geometr¨ªa eucl¨ªdea plana se pueden probar r¨¢pidamente usando n¨²meros complejos. Por ejemplo, el llamado teorema de Napole¨®n¡±. Oportuna observaci¨®n que dar¨¢ pie a una pr¨®xima entrega.

La f¨®rmula de Weizs?cker

Para la f¨ªsica de part¨ªculas, los n¨²meros 2, 8, 20, 28, 50, 82 y 126 (y tal vez alguno m¨¢s) son ¡°m¨¢gicos¡±, porque los n¨²cleos at¨®micos que contienen esos n¨²meros de nucleones (protones y neutrones) son m¨¢s estables de lo previsto por la famosa f¨®rmula de Weizs?cker o FSM (f¨®rmula semiemp¨ªrica de la masa), propuesta en 1935 por el f¨ªsico y fil¨®sofo alem¨¢n Carl Friedrich Weizs?cker (1917-2007); una f¨®rmula demasiado compleja para explicarla aqu¨ª (incluso para reproducirla), pero de obligada menci¨®n, en tanto que los ¨¢tomos con un n¨²mero m¨¢gico de nucleones pueden considerarse singularidades de dicha regla emp¨ªrica.

Adem¨¢s de los siete citados, hay otros n¨²meros de nucleones candidatos a m¨¢gicos, como 6, 14, 16, 30, 32 y 34. Todos ellos son n¨²meros obtenidos mediante la observaci¨®n y la experimentaci¨®n en los aceleradores de part¨ªculas; pero un pitag¨®rico dir¨ªa que ha de haber una estructura matem¨¢tica tras esa secuencia. ?Puedes hallar alguna? Recomiendo ce?irse a la primera lista de siete n¨²meros (pero, huelga decirlo, no tienes por qu¨¦ hacerme caso).

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