Matem¨¢ticas para explicar c¨®mo se unen las c¨¦lulas

En la segunda mitad del siglo XX el bi¨®logo Malcolm Steinberg, inspirado por el trabajo de Philip Townes y Johannes Holtfreter, llev¨® a cabo una serie de experimentos fundamentales para entender la formaci¨®n de tejidos y ¨®rganos en organismos multicelulares como los humanos. En ellos, observ¨® c¨®mo dos poblaciones de c¨¦lulas diferentes, inicialmente mezcladas, y sin ning¨²n tipo de estructura, se organizaban para formar un patr¨®n muy bien definido, con las dos poblaciones celulares separadas y con una de ellas envolviendo a la otra.

Adem¨¢s, Steinberg observ¨® que pod¨ªa obtener m¨¢s patrones utilizando diferentes tipos de c¨¦lulas como poblaciones iniciales. Para ciertos tipos de c¨¦lulas, las dos poblaciones se manten¨ªan mezcladas y sin ning¨²n tipo de estructura, como al inicio del experimento. Con otros tipos de c¨¦lulas, sin embargo, la separaci¨®n entre las dos poblaciones al final del experimento era todav¨ªa m¨¢s clara.

La aparici¨®n de estos patrones diferentes llev¨® a Steinberg a formular una explicaci¨®n basada en ideas f¨ªsicas simples, que ahora se conoce con el nombre de hip¨®tesis de adhesi¨®n diferencial. Esta estipula que la responsable de estos patrones es la adhesi¨®n celular entre las diferentes poblaciones, es decir, la fuerza con la que las c¨¦lulas se unen a otras c¨¦lulas de su mismo o diferente tipo.

B¨¢sicamente, la hip¨®tesis de Steinberg dice que las c¨¦lulas se comportan como dos l¨ªquidos con tensiones superficiales diferentes, como, por ejemplo, agua y aceite. De esta manera, al igual que la alta tensi¨®n superficial del agua y del aceite provoca que ambos l¨ªquidos no se mezclen, dos poblaciones celulares con una gran adhesi¨®n celular hacia c¨¦lulas de su mismo tipo tender¨¢n a mantenerse separadas. Por el contrario, cuando la adhesi¨®n celular hacia c¨¦lulas de otro tipo es fuerte, las dos poblaciones tender¨¢n a mezclarse. Esta hip¨®tesis permite entender c¨®mo poblaciones de c¨¦lulas se pueden organizar para formar estructuras complejas, y ha sido corroborada en m¨²ltiples experimentos.

Las c¨¦lulas se comportan como dos l¨ªquidos con tensiones superficiales diferentes. Al igual que el agua y aceite, no se mezclan. De esta manera, dos poblaciones celulares se mantienen separadas

En la actualidad, la adhesi¨®n celular contin¨²a siendo fundamental en experimentos que tratan de explicar c¨®mo se forman tejidos y ¨®rganos durante el desarrollo embrionario. Pero ahora parte de estos experimentos se pueden simular mediante un ordenador, con un coste ¡ªde tiempo y dinero¡ª mucho menor. Adem¨¢s, muchas veces, estos ofrecen una explicaci¨®n m¨¢s completa de la f¨ªsica que hay detr¨¢s del movimiento celular. Para ello, necesitamos modelos matem¨¢ticos que reproduzcan, mediante ecuaciones, los fen¨®menos observados.

En el caso de la adhesi¨®n celular, los modelos matem¨¢ticos se basan en dos ideas sencillas. Primero, se considera una fuerza atractiva que provoca que las c¨¦lulas que est¨¢n cerca traten de mantenerse unidas, imitando el proceso de adhesi¨®n celular. Seg¨²n las diferentes adhesiones entre tipos de c¨¦lulas se consideran fuerzas de atracci¨®n de distinta intensidad.

Por otra parte, se asume que el movimiento de cada c¨¦lula o de grupos de c¨¦lulas tiene un car¨¢cter m¨¢s o menos aleatorio. Combinando ambas ideas se llega a un conocido modelo dado por la ecuaci¨®n de agregaci¨®n-difusi¨®n, una ecuaci¨®n diferencial en derivadas parciales que describe la evoluci¨®n temporal de una funci¨®n, que representa la densidad de c¨¦lulas en cada punto del espacio.

La ecuaci¨®n de agregaci¨®n-difusi¨®n se puede aplicar a sistemas con dos o m¨¢s poblaciones de c¨¦lulas. En este caso, se obtiene un sistema de ecuaciones en derivadas parciales para las diferentes densidades de c¨¦lulas. En particular, variando la intensidad de las diferentes fuerzas de atracci¨®n es posible reproducir los patrones observados en los experimentos de Steinberg. En la imagen se muestra el resultado de resolver este tipo de ecuaciones para dos poblaciones, representadas en rojo y verde, junto con un esquema de los posibles patrones obtenidos.

Con estas ecuaciones de agregaci¨®n-difusi¨®n podemos describir el proceso de adhesi¨®n celular, as¨ª como su impacto en la organizaci¨®n y movimiento celular. Este modelo ha generado mucho inter¨¦s en la ¨²ltima d¨¦cada, no solo por sus aplicaciones en biolog¨ªa y sus propiedades matem¨¢ticas, sino tambi¨¦n por las nuevas t¨¦cnicas de an¨¢lisis matem¨¢tico que ha motivado. La existencia y unicidad de soluciones del sistema de ecuaciones resultante, as¨ª como otras propiedades estructurales, son solo algunas de las preguntas que han surgido gracias a la investigaci¨®n en este campo.

Carles Falc¨® es investigador predoctoral en el Instituto de Matem¨¢ticas de la Universidad de Oxford (Reino Unido) y becario de la Fundaci¨®n ¡°la Caixa¡±

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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