Al tirar una moneda al aire es m¨¢s probable que caiga del mismo lado del que se lanz¨®

Imagina que tomas una moneda y te dispones a lanzarla al aire. ?Cu¨¢l dir¨ªas que es la probabilidad de que caiga cara? ?Importa el lado por el que la lances? La mayor¨ªa de las personas dir¨ªa que la probabilidad de que salga cara es de un 50%, independientemente de la posici¨®n inicial de la moneda, pero la cosa no es tan sencilla.

Las dos preguntas anteriores se corresponden con dos eventos diferentes. La primera, trata de la probabilidad de que salga cara ¨Co cruz, ser¨ªa lo mismo¨C. Sin embargo, la segunda hace referencia a la probabilidad de que salga cara, si la moneda ten¨ªa la cara hacia arriba antes de lanzarla. Esta segunda probabilidad, que se llama condicionada, puede ser distinta de la primera.

Sobre esta cuesti¨®n, en 2007, los matem¨¢ticos Peris Diaconis, Susan Holmes y Richard Montgomery plantearon un modelo f¨ªsico que mostraba un ligero sesgo a favor de que la moneda aterrizase tal y como se lanz¨®. Como conclusi¨®n indicaban que, al tirar una moneda al aire, esta caer¨¢ del mismo lado del que se lanz¨® en un 51% de las ocasiones.

Sin embargo, si no se sabe c¨®mo est¨¢ colocada la moneda, la probabilidad de que salga cara ¨Co cruz¨C es del 50 %. Pero, ?c¨®mo es posible afirmar que la probabilidad es esa, con total seguridad? Se trata de un problema de estimaci¨®n, es decir, de partida desconocemos la probabilidad de obtener cara y se quiere estimar correctamente su valor a partir de la evidencia.

El enfoque m¨¢s conocido para hacerlo parte de la interpretaci¨®n de la probabilidad como frecuencia, dando lugar a lo que se conoce como estad¨ªstica frecuentista. M¨¢s concretamente, bajo este enfoque, la probabilidad que queremos estimar se interpreta como la proporci¨®n de caras que se observar¨¢n al lanzar la moneda infinitas veces bajo las mismas condiciones. As¨ª pues, para aproximarla, bastar¨¢ con lanzar la moneda un n¨²mero alto de veces, bajo las mismas condiciones, y aproximar la verdadera probabilidad por la proporci¨®n de caras observadas.

El enfoque frecuentista fue el utilizado por grandes personalidades de la historia de la probabilidad y la estad¨ªstica como el conde de Buffon o Karl Pearson. El primero, lanz¨® 4040 veces una moneda obteniendo 2048 caras, lo que supone una estimaci¨®n de la probabilidad en 4040/2048 = 0,5069, es decir un 50,69%; el segundo realiz¨® 24000 lanzamientos de los cuales 12012 cayeron mostrando su cara un 50,005% de las ocasiones.

Sin embargo, el planteamiento de partida de este enfoque crea una cierta paradoja: al tirar una moneda exactamente con las mismas condiciones, ?no ser¨ªa esperable obtener el mismo resultado? La f¨ªsica de Newton afirmar¨ªa que s¨ª y, de hecho, son las peque?as variaciones iniciales las que inducen la aleatoriedad en los resultados, por lo que resulta parad¨®jico pensar en esa premisa de la repetici¨®n. Este punto de partida es a¨²n m¨¢s escurridizo al estudiar la probabilidad de tener una enfermedad¡­ en ese caso ?qu¨¦ se deber¨ªa repetir? ?La vida de la persona? Adem¨¢s, ?cu¨¢ntos lanzamientos ser¨¢n necesarios para estar suficientemente cerca del verdadero valor? As¨ª pues, pese a que el enfoque frecuentista es un enfoque v¨¢lido y muy bien estudiado, en ocasiones, conduce a ciertos razonamientos dif¨ªciles de interpretar que incluso lo han llevado a ser cuestionado en algunas revistas cient¨ªficas.

Para superar estas limitaciones, es posible emplear otro enfoque estad¨ªstico: el conocido como bayesiano. Bajo este paradigma, la probabilidad es el grado de incertidumbre que tenemos sobre un proceso y las observaciones realizadas contribuyen a mejorar esa incertidumbre. Se trata de una representaci¨®n matem¨¢tica del proceso de aprendizaje.

Volviendo al ejemplo de la moneda, se busca estimar el valor de la probabilidad de que salga cara. Para ello, el primer paso es determinar posibles valores a priori para esta probabilidad. En el caso de no tener ning¨²n conocimiento previo, se puede establecer que la probabilidad podr¨ªa valer cualquier cosa entre el 0 y el 100%. Despu¨¦s, se realizan muchos lanzamientos de moneda que ir¨¢n reduciendo la incertidumbre, acotando que posibles valores son cre¨ªbles para la probabilidad de cara.

Este es el enfoque empleado en un reciente estudio llevado a cabo por m¨¢s de 50 investigadoras e investigadores de los Pa¨ªses Bajos. El estudio se aleja de la idea de repetir y de su complicaci¨®n en la interpretaci¨®n: realizaron 350 757 lanzamientos de diferentes tipos de monedas para obtener un rango de valores a posteriori para la probabilidad de cara que est¨¢ entre un 49,9% y un 50,3%. As¨ª, este resultado viene a reforzar la ya conocida y testeada idea del 50-50 y por tanto, nos permite confiar en la moneda para desempatar.

En el mismo estudio tambi¨¦n pudieron respaldar el modelo de Diaconis, Holmes y Montgomery: establecieron un rango para la probabilidad de que la moneda caiga en su posici¨®n original de entre un 50,3% y 50,9%, es decir, si bien no es un 51% exactamente, s¨ª apunta a la existencia de un cierto sesgo.

M¨¢s all¨¢ de este ejemplo, la estad¨ªstica bayesiana ha desempe?ado un papel fundamental en eventos hist¨®ricos como el descifrado de la m¨¢quina Enigma a manos de Alan Turing. Actualmente se emplea all¨¢ donde se estudien procesos complejos como la distribuci¨®n de especies, los modelos climatol¨®gicos, o la relaci¨®n espacial subyacente a la salud o a otros fen¨®menos. Adem¨¢s, es una de las t¨¦cnicas presentes dentro de lo que se conoce como machine learning o aprendizaje autom¨¢tico.

Anabel Forte es profesora titular de la Universidad de Valencia

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT)

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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