Plantaci¨®n de ¨¢rboles

El primer problema de la semana pasada atrajo la atenci¨®n de nuestros comentaristas habituales y dio lugar a interesantes observaciones (ver comentarios de Acertijos de autor). La clave estriba en darse cuenta de que, puesto que el narrador pregunta a las otras nueve personas presentes y averigua que todas ellas han estrechado un n¨²mero distinto de manos, y puesto que nadie estrecha la mano de su pareja, el n¨²mero de apretones de las personas consultadas ser¨¢, respectivamente, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Por tanto, la pareja de quien ha estrechado 8 manos no ha estrechado ninguna (es la ¨²nica candidata a 0 apretones, puesto que todas las dem¨¢s personas han estrechado la mano de su pareja). An¨¢logamente, la persona que ha estrechado 7 manos est¨¢ emparejada con quien ha estrechado 1 (es decir, con quien solo ha estrechado la mano de quien ha estrechado 8), la que ha estrechado 6 con la que ha estrechado 2, la que ha estrechado 5 con quien ha estrechado 3, y la que ha estrechado 4 es la pareja del narrador, que tambi¨¦n ha estrechado 4. Es m¨¢s f¨¢cil de ver haciendo un esquema en el que cada una de las 10 personas se representa con un punto y cada apret¨®n de manos con una l¨ªnea que une dos puntos.

En el problema de los diez enunciados, solo el noveno puede ser verdadero. En la versi¨®n original del problema, con 1969 enunciados, solo era cierto el n¨²mero 1968.

A pesar de la ambig¨¹edad del planteamiento del tercer problema, la soluci¨®n es ¨²nica: las cartas son el rey de picas, la reina de picas y la reina de corazones. Pero ?en qu¨¦ orden est¨¢n sobre la mesa?

En cuanto al problema de Sam Loyd, Rafael Granero env¨ªa la soluci¨®n de la figura adjunta, en la que se destruyen todos los cuadrados retirando 10 palillos. ?Se puede mejorar? La respuesta es s¨ª: se puede conseguir retirando solo 9 palillos. ?C¨®mo?

Los ¨¢rboles de Dudeney

Tras hablar de Sam Loyd, el gran autor de problemas de ingenio estadounidense, en relaci¨®n con un tema cl¨¢sico de los acertijos l¨®gicos, como es el de la retirada de palillos, parece adecuado mencionar a su hom¨®logo brit¨¢nico, Henry Dudeney, en relaci¨®n con otro tema cl¨¢sico, la plantaci¨®n de ¨¢rboles:

Uno de los problemas de este tipo m¨¢s conocidos consiste en plantar 10 ¨¢rboles en 5 filas de 4, y la elegante soluci¨®n no es otra que el pentagrama, con los ¨¢rboles en las puntas de la estrella y los v¨¦rtices del pent¨¢gono central. Como se aprecia en la figura, el pent¨¢gono estrellado no tiene por qu¨¦ ser regular para que la soluci¨®n sea v¨¢lida (a no ser que se especifique que los ¨¢rboles de cada fila han de ser equidistantes).

Y la soluci¨®n tampoco tiene por qu¨¦ ser un pent¨¢gono estrellado, como demostr¨® Dudeney hallando otras cuatro soluciones distintas. ?Puedes encontrar alguna? ?Puedes encontrarlas todas? Y, para subir nota: las soluciones de Dudeney son todas sim¨¦tricas (aunque, por supuesto, podemos deformarlas y romper la simetr¨ªa), pero hay al menos otra soluci¨®n asim¨¦trica y que no se obtiene por deformaci¨®n de las anteriores, ?puedes dar con ella?

Para terminar, y puestos a plantar ¨¢rboles, que tanta falta hacen en estos tiempos de incendios y deforestaciones, otro cl¨¢sico relacionado con el teorema de Pappus (del que nos ocuparemos en otro momento):

Un granjero quiere plantar 9 ¨¢rboles de manera que formen 10 filas rectas de 3 ¨¢rboles por fila. ?Puede conseguirlo?

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